Corrigé X-ENS 2026 Maths PC — Troisième partie (19 à 22) : Grandes déviations de la moyenne de N signes : loi binomiale et formule de Stirling

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les $σ_{i}$ sont indépendantes de loi $P [σ_{i} = 1] = P [σ_{i} = - 1] = \frac{1}{2}$ . On pose $S_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} σ_{i}$ , $M_{N} = {- 1 + \frac{2 k}{N}, 0 ⩽ k ⩽ N}$ , $Y_{N} (β, h) = E [exp (β N S_{N}^{2} + h N S_{N})]$ , $G_{N} = \frac{1}{N} ln Y_{N}$ ( $β ⩾ 0$ , $h \in R$ ), et, pour $x \in] - 1, 1 [$ , $I (x) = \frac{1 + x}{2} ln \frac{1 + x}{2} + \frac{1 - x}{2} ln \frac{1 - x}{2}$ .

Q19. Montrer que $I$ se prolonge par continuité en $- 1$ et en $1$ .
Q20. Pour $x \in R$ , calculer $P [S_{N} = x]$ .
Q21. Si $u_{N} \in M_{N}$ et $u_{N} \to x \in] - 1, 1 [$ , montrer que $- \frac{1}{N} ln P [S_{N} = u_{N}] \to I (x)$ (la limite est en fait $I (x) + ln 2$ , voir le corrigé).
Q22. Pour $x \in M_{N}$ , montrer que $G_{N} (β, h) ⩾ β x^{2} + h x + \frac{1}{N} ln P [S_{N} = x]$ .

Le sujet admet ensuite que $G_{N} (β, h) \to g (β, h) = sup_{x \in [- 1, 1]} (β x^{2} + h x - I (x))$ .

Corrigé

Q19. Posons $ℓ (t) = t ln t$ pour $t > 0$ et $ℓ (0) = 0$ ; $ℓ$ est continue sur $[0, + \infty [$ , car $t ln t \to 0$ quand $t \to 0^{+}$ (croissances comparées). Pour $x \in] - 1, 1 [$ , $I (x) = ℓ (\frac{1 + x}{2}) + ℓ (\frac{1 - x}{2})$ , et le membre de droite a un sens et est continu sur $[- 1, 1]$ (composée de fonctions continues, $\frac{1 \pm x}{2} \in [0, 1]$ ). Donc $I$ se prolonge par continuité, avec

$I (1) = ℓ (1) + ℓ (0) = 0, I (- 1) = ℓ (0) + ℓ (1) = 0.$

On note encore $I$ ce prolongement, continu sur $[- 1, 1]$ ; il est pair.

Q20. Les variables $B_{i} = \frac{1 + σ _{i}}{2}$ sont indépendantes (fonctions des $σ_{i}$ ) et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ ; donc $K_{N} = \sum_{i = 1}^{N} B_{i}$ (nombre de $σ_{i}$ égaux à $1$ ) suit la loi binomiale $B (N, \frac{1}{2})$ . Or $\sum_{i} σ_{i} = 2 K_{N} - N$ , donc $S_{N} = - 1 + \frac{2 K _{N}}{N}$ , et $S_{N} = x ⟺ K_{N} = \frac{N ( 1 + x )}{2}$ . Ainsi :

$P [S_{N} = x] = ⎩ ⎨ ⎧ (k N) 2^{- N} 0 si x = - 1 + \frac{2 k}{N} \in M_{N} (0 ⩽ k ⩽ N), si x \in / M_{N} .$

Autrement dit $P [S_{N} = x] = (N ( 1 + x ) /2 N) 2^{- N}$ pour $x \in M_{N}$ , probabilité strictement positive.

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