Corrigé X-ENS 2026 Maths PC — Troisième partie (23 à 32) : Modèle de Curie-Weiss : maximiseur x*(β,h), dérivabilité de g, transition de phase en β = 1/2

Q23. Sur $]-1,1[$, $I$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et

$$I^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},$$

$$I^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})=\frac{1}{1-x^2}.$$

Donc ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime }(x)=2\beta x+h-I^{\prime }(x)$ et ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime \prime }(x)=2\beta -\frac{1}{1-x^2}$ pour $x\in ]-1,1[$ (en $\pm 1$, ${\psi }_{\beta ,h}$ n'est pas dérivable : $I^{\prime }(x)\to \pm \infty$). Ainsi ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime \prime }(x)⩽0⟺2\beta (1-x^2)⩽1$.

• Si $\beta \in [0,\frac{1}{2}]$ : $2\beta (1-x^2)⩽1-x^2⩽1$, donc ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime \prime }⩽0$ sur tout $]-1,1[$, l'égalité n'ayant lieu que pour $\beta =\frac{1}{2}$ et $x=0$.
• Si $\beta >\frac{1}{2}$ : posons $c_{\beta }=\sqrt{1-\frac{1}{2\beta }}\in ]0,1[$. Alors ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime \prime }(x)⩽0⟺x^2⩾c_{\beta }^2⟺c_{\beta }⩽|x|<1$ ; et ${\psi }_{\beta ,h}^{\prime \prime }>0$ sur $]-c_{\beta },c_{\beta }[$.

La réponse ne dépend pas de $h$. Une identité utile : $y=I^{\prime }(x)⟺{\mathrm{e}}^{2y}=\frac{1+x}{1-x}⟺x=\frac{{\mathrm{e}}^{2y}-1}{{\mathrm{e}}^{2y}+1}=\mathrm{th}(y)$ ; $I^{\prime }$ est la bijection réciproque de $\mathrm{th}:\mathbb{R}\to ]-1,1[$.

Q24. Soient $\beta ⩾0$, $h>0$ et $\psi ={\psi }_{\beta ,h}$.

Existence. $\psi$ est continue sur le segment $[-1,1]$ (Q19) : elle est bornée et atteint son maximum (théorème des bornes atteintes).

Les maximiseurs sont dans $]0,1[$. Comme $I$ et $x\mapsto \beta x^2$ sont paires, $\psi (x)-\psi (-x)=2hx>0$ pour $x\in ]0,1]$ : aucun $x<0$ n'est un maximiseur ($\psi (-x)>\psi (x)$). Ensuite ${\psi }^{\prime }(0)=h>0$ : $0$ est intérieur à $[-1,1]$ et non critique, donc n'est pas un maximum. Enfin ${\psi }^{\prime }(x)\to -\infty$ quand $x\to 1^{-}$ : il existe $\delta >0$ tel que ${\psi }^{\prime }<0$ sur $]1-\delta ,1[$ ; pour $x$ dans cet intervalle, le théorème des accroissements finis sur $[x,1]$ ($\psi$ continue sur $[x,1]$, dérivable sur $]x,1[$) donne $\psi (1)-\psi (x)={\psi }^{\prime }(c)(1-x)<0$ : $1$ n'est pas un maximiseur. Tout maximiseur est donc un point intérieur de $]0,1[$, où $\psi$ est dérivable, donc un zéro de ${\psi }^{\prime }$.

Unicité : ${\psi }^{\prime }$ s'annule une seule fois sur $]0,1[$.

• Si $\beta ⩽\frac{1}{2}$ : ${\psi }^{\prime \prime }⩽0$ sur $]-1,1[$ en ne s'annulant qu'en au plus un point (Q23), donc ${\psi }^{\prime }$ est strictement décroissante. Continue, elle passe de ${\psi }^{\prime }(0)=h>0$ à $-\infty$ en $1^{-}$ : elle s'annule exactement une fois sur $]0,1[$ (théorème des valeurs intermédiaires et stricte monotonie).
• Si $\beta >\frac{1}{2}$ : ${\psi }^{\prime \prime }>0$ sur $[0,c_{\beta }[$, donc ${\psi }^{\prime }$ est strictement croissante sur $[0,c_{\beta }]$ et ${\psi }^{\prime }⩾{\psi }^{\prime }(0)=h>0$ sur cet intervalle. Sur $[c_{\beta },1[$, ${\psi }^{\prime \prime }<0$ sauf en $c_{\beta }$ : ${\psi }^{\prime }$ y est strictement décroissante, de ${\psi }^{\prime }(c_{\beta })>0$ à $-\infty$, et s'y annule exactement une fois.