Corrigé X-ENS 2026 Maths PSI — Partie I (Q1.a à Q2.c) : Fonctions convexes C¹ et fonctions minorées : points critiques, inf de la norme du gradient

Notations du sujet : $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et $\Vert \cdot \Vert$ sont le produit scalaire et la norme euclidienne canoniques de ${\mathbb{R}}^n$ ; pour $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, $\nabla f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x))$ et $S(f)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid \nabla f(x)=0\}$. Une fonction $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est convexe si $f((1-\lambda )x+\lambda y)\le (1-\lambda )f(x)+\lambda f(y)$ pour tous $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, $\lambda \in [0,1]$.

Q1. $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est convexe et de classe ${\mathcal{C}}^1$.
Q1.a. Pour $x,y$ fixés et $h(t)=f(x+t(y-x))$, exprimer $h^{\prime }(0)$.
Q1.b. En déduire $f(y)-f(x)\ge ⟨\nabla f(x),y-x⟩$ pour tous $x,y$.
Q1.c. En déduire $⟨\nabla f(y)-\nabla f(x),y-x⟩\ge 0$ pour tous $x,y$.
Q1.d. Si $x_0\in S(f)$, montrer que $f(x_0)$ est le minimum global de $f$ et que $f$ vaut $f(x_0)$ sur $S(f)$.
Q1.e. Montrer que $S(f)$ est une partie convexe fermée de ${\mathbb{R}}^n$.

Q2. $f$ est seulement minorée et de classe ${\mathcal{C}}^1$ ; pour $\epsilon >0$, $f_{\epsilon }(x)=f(x)+\epsilon \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2+1}$.
Q2.a. Montrer que $f_{\epsilon }$ atteint un minimum global en un point $x_{\epsilon }$ (indication : considérer $\{x\mid f_{\epsilon }(x)\le f_{\epsilon }(0)\}$).
Q2.b. En déduire l'existence de $x_{\epsilon }$ tel que $\Vert \nabla f(x_{\epsilon })\Vert \le \epsilon$.
Q2.c. En déduire $\inf \{\Vert \nabla f(x)\Vert \mid x\in {\mathbb{R}}^n\}=0$.