Corrigé X-ENS 2026 Maths PSI — Partie II (Q3.a à Q5) : Le cas monodimensionnel : dérivées de même valeur absolue, convexité de g quand (g')² est convexe

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ici $n = 1$ et, pour $φ : R \to R$ de classe $C^{1}$ , $S (φ) = {x \in R ∣ φ^{'} (x) = 0}$ .

Q3. $f_{1}, f_{2} : R \to R$ sont de classe $C^{1}$ , convexes, minorées, et il existe $c \in R$ tel que $f_{1}^{'} (x)^{2} - f_{2}^{'} (x)^{2} = c$ pour tout $x$ .
Q3.a. Montrer que $c = 0$ et $S (f_{1}) = S (f_{2})$ .
Q3.b. Montrer que $f_{i}^{'}$ est croissante sur $R$ ( $i \in {1, 2}$ ).
Q3.c. Montrer que $S (f_{1})$ est un intervalle.
Q3.d. Montrer que $f_{1}^{'} = f_{2}^{'}$ (distinguer $S (f_{1}) = \emptyset$ et $S (f_{1}) \neq = \emptyset$ ).
Q3.e. Conclure.

Q4. $g : R \to R$ est de classe $C^{2}$ , minorée, et $R = (g^{'})^{2}$ est convexe ; on veut montrer que $g$ est convexe.
Q4.a. Montrer que $S (R) = S (g)$ .
Q4.b. Si $S (g) = \emptyset$ , montrer que $g^{'}$ est croissante.
Q4.c. Si $S (g) \neq = \emptyset$ , montrer que $g^{'}$ est croissante.
Q4.d. Montrer que $g$ est convexe (indication : pour $x < y$ , étudier $φ (t) = g ((1 - t) x + t y) - (1 - t) g (x) - t g (y)$ sur $[0, 1]$ ).

Q5. $g_{1}, g_{2} : R \to R$ sont de classe $C^{2}$ et minorées, $(g_{1}^{'})^{2}$ est convexe et $(g_{1}^{'})^{2} - (g_{2}^{'})^{2}$ est constante. Montrer que $g_{1} - g_{2}$ est constante.

Corrigé

Les résultats de la partie I s'appliquent avec $n = 1$ : alors $\nabla φ (x) = φ^{'} (x)$ et $⟨ u, v ⟩ = uv$ .

Q3.a. $c = 0$ . Les fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ sont minorées et de classe $C^{1}$ ; par Q2.c, $in f_{R} ∣ f_{1}^{'} ∣ = in f_{R} ∣ f_{2}^{'} ∣ = 0$ . Soit $ε > 0$ ; il existe $x \in R$ tel que $∣ f_{2}^{'} (x) ∣ \leq ε$ , d'où $c = f_{1}^{'} (x)^{2} - f_{2}^{'} (x)^{2} \geq - ε^{2}$ . De même il existe $x^{'}$ tel que $∣ f_{1}^{'} (x^{'}) ∣ \leq ε$ , d'où $c = f_{1}^{'} (x^{'})^{2} - f_{2}^{'} (x^{'})^{2} \leq ε^{2}$ . Donc $∣ c ∣ \leq ε^{2}$ pour tout $ε > 0$ : $c = 0$ .

$S (f_{1}) = S (f_{2})$ . Avec $c = 0$ , $f_{1}^{'} (x)^{2} = f_{2}^{'} (x)^{2}$ , donc $∣ f_{1}^{'} (x) ∣ = ∣ f_{2}^{'} (x) ∣$ pour tout $x$ : $f_{1}^{'} (x) = 0 ⟺ f_{2}^{'} (x) = 0$ .

Q3.b. $f_{i}$ est convexe et de classe $C^{1}$ ; Q1.c avec $n = 1$ donne, pour tous $x, y$ réels, $(f_{i}^{'} (y) - f_{i}^{'} (x)) (y - x) \geq 0$ . Si $x < y$ , on divise par $y - x > 0$ : $f_{i}^{'} (x) \leq f_{i}^{'} (y)$ . Donc $f_{i}^{'}$ est croissante.

Q3.c. Par Q1.e, $S (f_{1})$ est une partie convexe (et fermée) de $R$ . Les parties convexes de $R$ sont exactement les intervalles : si $a < z < b$ avec $a, b \in S (f_{1})$ , alors $z = (1 - λ) a + λb$ avec $λ = \frac{z - a}{b - a} \in] 0, 1 [$ , donc $z \in S (f_{1})$ . Ainsi $S (f_{1})$ est un intervalle (éventuellement vide ou réduit à un point).

Q3.d. On sait (Q3.a) que $∣ f_{1}^{'} ∣ = ∣ f_{2}^{'} ∣$ et $S (f_{1}) = S (f_{2})$ .

Cas $S (f_{1}) = \emptyset$ . Alors $f_{1}^{'}$ et $f_{2}^{'}$ sont continues et ne s'annulent pas sur l'intervalle $R$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, chacune garde un signe strict constant. Si ces signes étaient opposés, on aurait $f_{2}^{'} = - f_{1}^{'}$ ; alors $f_{1}^{'}$ serait croissante (Q3.b) et, $f_{2}^{'}$ étant croissante, $f_{1}^{'} = - f_{2}^{'}$ serait aussi décroissante : $f_{1}^{'}$ serait constante égale à un réel $a \neq = 0$ , et $f_{1} (x) = f_{1} (0) + a x$ tendrait vers $- \infty$ en $- \infty$ (si $a > 0$ ) ou en $+ \infty$ (si $a < 0$ ), contredisant le fait que $f_{1}$ est minorée. Donc $f_{1}^{'}$ et $f_{2}^{'}$ ont le même signe, et $f_{1}^{'} = f_{2}^{'}$ .

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