Corrigé X-ENS 2026 Maths PSI — Partie III (Q6.a à Q10) : Fonctions quadratiques : matrices symétriques positives, racine carrée, bijectivité de T

On note ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques positives (${}^{t}XMX\ge 0$ pour tout $X$). Pour deux matrices colonnes, ${}^{t}XY={}^{t}YX$ (réel égal à sa transposée).

Q6.a. $f(x)=\frac{1}{2}{\sum }_{i,j}{m}_{ij}{x}_i{x}_j-{\sum }_i{b}_i{x}_i$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ (et même ${\mathcal{C}}^{\infty }$). Pour $k\in \{1,\dots ,n\}$, en dérivant par rapport à $x_k$ (le terme $x_i{x}_j$ fournit ${\delta }_{ik}{x}_j+x_i{\delta }_{jk}$) :

$$\frac{\partial f}{\partial x_k}(x)=\frac{1}{2}(\sum _j{m}_{kj}{x}_j+\sum _i{m}_{ik}{x}_i)-b_k=\sum _j{m}_{kj}{x}_j-b_k=(MX-B{)}_k,$$

en utilisant $m_{ik}=m_{ki}$ ($M$ symétrique). Donc ${}^t(\nabla f(x))=MX-B$.

Q6.b. En particulier ${}^t\nabla f(0)=-B$. Pour tout $x$, en développant et en utilisant ${}^{t}M=M$ :

$$\Vert MX-B{\Vert }^2={}^t(MX-B)(MX-B)={}^{t}X{M}^{2}X-2{}^{t}BMX+{}^{t}BB,$$

car ${}^{t}XMB={}^t({}^{t}XMB)={}^{t}B{}^{t}MX={}^{t}BMX$. D'où

$$(Tf)(x)=\frac{1}{2}\Vert MX-B{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert B{\Vert }^2=\frac{1}{2}{}^{t}X(M^2)X-{}^t(MB)X,$$

puisque ${}^t(MB)={}^{t}BM$. La matrice $M^2$ est symétrique (${}^t(M^2)=({}^{t}M{)}^2=M^2$) et $MB\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ : $Tf\in \mathcal{E}$, caractérisée par $(M^2,MB)$. Enfin $(Tf)(x)\ge -\frac{1}{2}\Vert B{\Vert }^2$ : $Tf$ est minorée, donc $Tf\in {\mathcal{E}}_0$.

Q6.c. $\mathrm{Im}(M)\subset \mathrm{Ker}(M{)}^{\perp }$. Si $Y=MX$ et $Z\in \mathrm{Ker}(M)$ : $⟨Y,Z⟩={}^{t}X{}^{t}MZ={}^{t}XMZ=0$.

Égalité. Par le théorème du rang, $\dim \mathrm{Im}(M)=n-\dim \mathrm{Ker}(M)$, et en dimension finie $\dim \mathrm{Ker}(M{)}^{\perp }=n-\dim \mathrm{Ker}(M)$. L'inclusion entre sous-espaces de même dimension finie est une égalité : $\mathrm{Ker}(M{)}^{\perp }=\mathrm{Im}(M)$.

Supplémentarité. Par le théorème du supplémentaire orthogonal en dimension finie, ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})=\mathrm{Ker}(M)\oplus \mathrm{Ker}(M{)}^{\perp }=\mathrm{Im}(M)\oplus \mathrm{Ker}(M)$ (somme directe orthogonale).

Q6.d. Soit $\mu :X\in \mathrm{Im}(M)\mapsto MX$. Elle est linéaire et à valeurs dans $\mathrm{Im}(M)$ : c'est un endomorphisme de $\mathrm{Im}(M)$. Si $X\in \mathrm{Im}(M)$ et $MX=0$, alors $X\in \mathrm{Im}(M)\cap \mathrm{Ker}(M)=\{0\}$ (Q6.c) : $\mu$ est injectif. Un endomorphisme injectif d'un espace de dimension finie est bijectif : $\mu$ est un automorphisme de $\mathrm{Im}(M)$.