Corrigé X-ENS 2026 Maths PSI — Partie IV (1) (Q11 à Q14.c) : Points critiques communs et inégalité intégrale de type Hardy

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$f, g : R^{n} \to R$ sont de classe $C^{1}$ , convexes et minorées, $x \mapsto ∥\nabla f (x) ∥^{2} - ∥\nabla g (x) ∥^{2}$ est constante, $f + g \in E$ et $S (f) \neq = \emptyset$ . On pose $h = f + g$ , $ψ = f - g$ , $in f h = in f {h (x) ∣ x \in R^{n}}$ , et $(M, B)$ caractérise $h$ .

Q11. Montrer que $h \in E_{0}$ .
Q12. Montrer que $∥\nabla f (x) ∥ = ∥\nabla g (x) ∥$ pour tout $x \in R^{n}$ .
Q13. Montrer que $S (h) = S (f) = S (g)$ .

Q14. $y = (y_{1}, \dots, y_{n}) : R_{+} \to R^{n}$ est de classe $C^{1}$ et $\int_{0}^{+ \infty} ∥ y^{'} (t) ∥^{2} d t$ converge.
Q14.a. Soit $z (t) = \frac{1}{t} (y (t) - y (0))$ pour $t > 0$ et $z (0) = y^{'} (0)$ . Montrer que $z$ est continue sur $R_{+}$ et que $\int_{0}^{A} ∥ z (t) ∥^{2} d t \leq 2 \int_{0}^{A} ⟨ z (t), y^{'} (t)⟩ d t$ pour tout $A \geq 0$ .
Q14.b. En déduire que $\int_{0}^{+ \infty} ∥ z (t) ∥^{2} d t$ converge et vaut au plus $4 \int_{0}^{+ \infty} ∥ y^{'} (t) ∥^{2} d t$ .
Q14.c. Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{∥ y ( t ) ∥ ^{2}}{t ^{2} + 1} d t$ converge et vaut au plus $8 \int_{0}^{+ \infty} ∥ y^{'} (t) ∥^{2} d t + π ∥ y (0) ∥^{2}$ .

Corrigé

Q11. $h \in E$ par hypothèse, et $h = f + g$ est minorée comme somme de deux fonctions minorées (si $f \geq m_{1}$ et $g \geq m_{2}$ , alors $h \geq m_{1} + m_{2}$ ). Donc $h \in E_{0}$ .

Q12. Notons $c$ la constante : $∥\nabla f (x) ∥^{2} = c + ∥\nabla g (x) ∥^{2}$ pour tout $x$ .

Soit $x_{0} \in S (f)$ : $0 = ∥\nabla f (x_{0}) ∥^{2} = c + ∥\nabla g (x_{0}) ∥^{2} \geq c$ , donc $c \leq 0$ .
$g$ est minorée et de classe $C^{1}$ : par Q2.c, pour tout $ε > 0$ il existe $x$ tel que $∥\nabla g (x) ∥ \leq ε$ , et alors $0 \leq ∥\nabla f (x) ∥^{2} = c + ∥\nabla g (x) ∥^{2} \leq c + ε^{2}$ . Donc $c \geq - ε^{2}$ pour tout $ε > 0$ : $c \geq 0$ .

Ainsi $c = 0$ et, les normes étant positives, $∥\nabla f (x) ∥ = ∥\nabla g (x) ∥$ pour tout $x$ .

Q13. $S (f) = S (g)$ : immédiat par Q12, $\nabla f (x) = 0 ⟺ ∥\nabla f (x) ∥ = 0 ⟺ ∥\nabla g (x) ∥ = 0 ⟺ \nabla g (x) = 0$ .

$S (f) \subset S (h)$ : si $x \in S (f) = S (g)$ , $\nabla h (x) = \nabla f (x) + \nabla g (x) = 0$ .

$S (h) \subset S (f)$ . Fixons $x_{0} \in S (f) = S (g)$ (non vide par hypothèse). Par Q1.d, $f (x_{0}) = min f$ et $g (x_{0}) = min g$ . La fonction $h$ est convexe (somme de deux fonctions convexes) et de classe $C^{1}$ , et $x_{0} \in S (h)$ . Soit $x \in S (h)$ : par Q1.d appliquée à $h$ , $h (x) = h (x_{0})$ , soit

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