Corrigé X-ENS 2026 Maths PSI — Partie IV (2) (Q15.a à Q17) : Flot de gradient d'une fonction quadratique et constance de f − g

Hypothèses et notations de Q11 à Q13 : $f,g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, convexes, minorées, $\Vert \nabla f{\Vert }^2-\Vert \nabla g{\Vert }^2$ constante, $S(f)\ne \varnothing$, $h=f+g\in \mathcal{E}$ caractérisée par $(M,B)$, $\psi =f-g$. $Y:[0,+\infty [\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ est une solution de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $Y^{\prime }(t)=-MY(t)+B$   (E1), et $y(t)\in {\mathbb{R}}^n$ est la ligne associée ($Y={}^{t}y$).

Q15.a. Pour $v\in S(h)$ ($V={}^{t}v$), montrer que $F(t)=h(y(t))$ et $D(t)=\Vert Y(t)-V{\Vert }^2$ sont décroissantes.
Q15.b. Justifier l'existence de $U\in \mathrm{Im}(M)$, $Y_0\in \mathrm{Ker}(M)$, $Y_1\in \mathrm{Im}(M)$ avec $MU=B$ et $Y(0)=Y_0+Y_1$ ; pour $Z(t)=Y(t)-U-Y_0$, montrer que $Z^{\prime }=-MZ$, puis que $Z(t)\in \mathrm{Im}(M)$ pour tout $t\ge 0$.
Q15.c. Pour $\omega (t)=\Vert Z(t){\Vert }^2$, montrer qu'il existe $\beta >0$ tel que ${\omega }^{\prime }+\beta \omega \le 0$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$.
Q15.d. En déduire $\omega (t)\le \omega (0){\mathrm{e}}^{-\beta t}$.
Q15.e. En déduire l'existence de $Y_{\infty }\in S(h)$ tel que $Y(t)\to Y_{\infty }$ quand $t\to +\infty$.
Q15.f. Montrer que ${\int }_0^{+\infty }\Vert y^{\prime }{\Vert }^2$ et ${\int }_0^{+\infty }\frac{\Vert y(t){\Vert }^2}{t^2+1}\mathrm{d}t$ convergent, que la première vaut $h(y(0))-\inf h$ et que la seconde est au plus $8(h(y(0))-\inf h)+\pi \Vert y(0){\Vert }^2$.

Q16. Montrer que $⟨\nabla \psi (x),\nabla h(x)⟩=0$ pour tout $x$, et en déduire que $t\mapsto \psi (y(t))$ est constante sur ${\mathbb{R}}_{+}$.
Q17. Montrer que $\psi$ est constante, puis conclure.