Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie A-1 (Q1 à Q7) : Enjeux énergétiques d'un avion régional : vitesse par phase de vol, théorème de l'énergie cinétique, masse de batteries

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Avion régional (type ATR72) propulsé par deux turbopropulseurs de poussée totale $T_{u}$ . Le vol comprend trois phases (figure 2) : décollage horizontal de vitesse initiale nulle jusqu'à $V_{d}$ (résistance de l'air négligée, $T_{x} = 0$ ), montée rectiligne d'angle $θ$ sous poussée maximale avec $T_{x} = - K V (t)^{2} x_{1}$ , palier à l'altitude $H$ et à vitesse $V_{p}$ avec $T_{x} = - \frac{K}{2} V_{p}^{2} x$ . Masse totale $M_{t} = M_{v} + M_{u} + M_{c}$ supposée constante.

Figure 2 — Paramétrage et caractéristiques des phases de vol.

{

Masse à vide, carburant, charge utile	$M_{v} = 22000 kg$ , $M_{c} = 450 kg$ ( $570 L$ ), $M_{u} = 7400 kg$
Coefficient de frottement de l'air	$K = 1, 22$ (SI) au niveau du sol
Vitesses de décollage et de croisière	$V_{d} = 55 m \cdot s^{- 1}$ , $V_{p} = 153 m \cdot s^{- 1}$ ( $550 km \cdot h^{- 1}$ )
Altitude de croisière, angle de montée	$H = 6500 m$ , $θ = 5^{\circ}$
Poussée maximale des deux moteurs	$(T_{u})_{ma x} = 48000 N$
Pesanteur, passagers	$g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ , $78$ passagers
Consommation constructeur	$2, 4 L$ par passager pour $100 km$
Carburant	kérosène modélisé par le dodécane $C X_{12} H X_{26}$ , densité $0, 75$

}

Figure 3 — Tableau de données.

Préliminaire. $f$ est solution sur $R_{+}$ de $(E_{1})$ : $f^{'} = - A f^{2} + B$ ( $A, B > 0$ ), $f (0) = f_{0}$ avec $∣ f_{0} ∣ < B / A$ ; on pose $k = B / A$ et $u = f / k$ .

Q1. Montrer que $u^{'} = ω (1 - u^{2})$ (préciser $ω$ ), résoudre en posant $u = th (v)$ , en déduire $f (t)$ .
Q2. Donner $V (t)$ dans chacune des trois phases.
Q3. Commenter la modélisation du frottement, le sens de l'erreur dans chaque phase, l'erreur globale.

Figure 4 — Vitesse de l'avion en fonction du temps.

Batteries Li-ion : densité énergétique $ρ_{e} \approx 250 Wh \cdot k g^{- 1}$ . Le sujet donne l'énergie dissipée par les frottements pendant la montée : $27 \times 1 0^{5} J$ .

Q4. Par le théorème de l'énergie cinétique, exprimer l'énergie $E_{T P}$ que doivent fournir les turbopropulseurs sur le profil de durée $T_{p}$ (sans calculer $\int V^{3} d t$ ).
Q5. Estimer chaque terme et critiquer le modèle.
Q6. En déduire la masse de batteries $m_{b}$ pour une propulsion 100 % électrique ; comparer à $M_{v}$ ; conclure ; impact sur $K$ et la consommation.

Un modèle plus fin donne l'énergie totale $E$ en fonction de $M_{t}$ (figure 5, interpolations linéaires indiquées ; au-delà de $30 t$ le modèle est exploratoire).

Figure 5 — Nouveau modèle : énergie nécessaire (décollage, montée, croisière de 2 h 30 à $6500 m$ ) en fonction de la masse totale.

Q7. Ajouter des batteries alourdit l'avion, ce qui demande plus de batteries : à l'aide des interpolations de la figure 5 et de $ρ_{e}$ , discuter l'existence d'une solution.

Corrigé

Q1. Comme $f = k u$ et $A k^{2} = B$ :

$u^{'} = \frac{f ^{'}}{k} = \frac{- A k ^{2} u ^{2} + B}{k} = \frac{B}{k} (1 - u^{2}) ⟹ u^{'} = ω (1 - u^{2}), ω = \frac{B}{k} = A B .$

$u (0) = f_{0} / k \in] - 1, 1 [$ . Les fonctions constantes $\pm 1$ sont solutions de $(E_{2})$ ; par unicité de la solution du problème de Cauchy (second membre de classe $C^{1}$ ), la solution issue de $u (0) \in] - 1, 1 [$ ne peut jamais atteindre $\pm 1$ : $u (t) \in] - 1, 1 [$ pour tout $t \geq 0$ . On peut donc écrire $u = th (v)$ avec $v = Argth (u)$ de classe $C^{1}$ . Alors $u^{'} = v^{'} (1 - th^{2} v) = v^{'} (1 - u^{2})$ et $(E_{2})$ donne, puisque $1 - u^{2} \neq = 0$ :

$v^{'} = ω ⟹ v (t) = ω t + Argth \frac{f _{0}}{k},$

d'où

$f (t) = \frac{B}{A} th (A B t + Argth (f_{0} \frac{A}{B}))$

$f$ tend en croissant (si $f_{0} < k$ ) vers la valeur limite $k = B / A$ , avec le temps caractéristique $1/ A B$ .

Q2. Système : l'avion, de masse $M_{t}$ constante ; référentiel terrestre supposé galiléen. On applique le principe fondamental de la dynamique en projection sur la direction du mouvement.

Décollage ( $0 \leq t \leq T_{d}$ , direction $x$ ) : le poids est compensé par la réaction de la piste (sans frottement), $T_{x} = 0$ , d'où $M_{t} V ˙ = (T_{u})_{ma x}$ et, avec $V (0) = 0$ :

$V (t) = \frac{( T _{u} ) _{ma x}}{M _{t}} t, T_{d} = \frac{M _{t} V _{d}}{( T _{u} ) _{ma x}} .$

Montée ( $T_{d} \leq t \leq T_{m}$ , direction $x_{1}$ ) : la portance compense la composante du poids normale à $x_{1}$ ; sur $x_{1}$ :

$M_{t} V ˙ = (T_{u})_{ma x} - M_{t} g sin θ - K V^{2} .$

C'est $(E_{1})$ pour $f = V$ , avec $A = K / M_{t}$ , $B = ((T_{u})_{ma x} - M_{t} g sin θ) / M_{t}$ et la condition initiale $V (T_{d}) = V_{d}$ . L'équation étant autonome, Q1 donne après translation du temps :

$V (t) = V_{\infty} th (\frac{t - T _{d}}{τ} + Argth \frac{V _{d}}{V _{\infty}}),$

avec

$V_{\infty} = \frac{( T _{u} ) _{ma x} - M _{t} g sin θ}{K}, τ = \frac{M _{t}}{K ( ( T _{u} ) _{ma x} - M _{t} g sin θ )} .$

La condition de Q1 s'écrit $V_{d} < V_{\infty}$ .

Palier ( $T_{m} \leq t \leq T_{p}$ ) : $V (t) = V_{p}$ constante ; la poussée est réduite à $T_{u} = \frac{K}{2} V_{p}^{2}$ .

Applications numériques. $M_{t} = 29850 kg$ : $T_{d} = 34 s$ ; $M_{t} g sin θ = 25, 5 kN$ , $V_{\infty} = 136 m \cdot s^{- 1}$ ( $489 km \cdot h^{- 1}$ ), $τ = 180 s$ ; $V_{d} < V_{\infty}$ est bien vérifiée. En palier, $T_{u} = 0, 61 \times 15 3^{2} = 1, 43 \times 1 0^{4} N$ .

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