Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie A-2 (Q8 à Q13) : Turbopropulseur : vitesse du son, débit d'air, diffuseur et compresseur (premier principe en écoulement)

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le turbopropulseur (PW127 de l'ATR72) comprend une entrée d'air (diffuseur), un compresseur, une chambre de combustion, une turbine haute pression qui entraîne le compresseur, une turbine libre qui entraîne l'hélice par un réducteur, puis une tuyère. Hypothèses : gaz parfaits à $c_{p}$ constant, transformations adiabatiques (pertes représentées par des rendements), combustion à pression constante, régime stationnaire, aucune perte mécanique ni perte de charge.

Constante des gaz parfaits	$R = 8, 314 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$	$γ$ de l'air	$γ = 1, 4$
$γ$ du dodécane gazeux	$γ_{f} = 1, 05$	$γ$ des gaz brûlés	$γ_{c} = 1, 3$
Conditions ambiantes	$P_{1} = 0, 85 bar$ , $T_{1} = 250 K$	Coefficient de détente de la tuyère	$π_{e}$
Rapport de compression	$r_{c} = 12$	Rendement isentropique du compresseur	$η_{c} = 0, 85$
Rendement mécanique (réducteur)	$η_{m} = 0, 95$	Rendement isentropique de la turbine	$η_{T} = 0, 9$

$Δ_{f} H^{\circ} (CO X_{2} (g))$	$- 392 kJ \cdot mo l^{- 1}$	$M (C)$ , $M (H)$	$12$ et $1 g \cdot mo l^{- 1}$
$Δ_{f} H^{\circ} (H X_{2} O (g))$	$- 237 kJ \cdot mo l^{- 1}$	$M (O)$ , $M (N)$	$16$ et $14 g \cdot mo l^{- 1}$
$Δ_{f} H^{\circ} (C X_{12} H X_{26} (g))$	$- 355 kJ \cdot mo l^{- 1}$

Figure 9 — Grandeurs utiles (enthalpies de formation à la température de combustion).

Figure 10 — Les étages du cycle de Brayton ouvert (étiquettes du sujet ; elles sont masquées dans la version allégée).

1 $\to$ 2 : l'air, entrant à $V_{p}$ (nombre de Mach $μ_{1} = V_{p} / V_{so n}$ ), est ralenti à vitesse quasi nulle, de façon isentropique. 2 $\to$ 3 : compression de rapport $r_{c} = P_{3} / P_{2}$ , rendement isentropique $η_{c}$ (travail isentropique / travail réel) ; $T_{3 s}$ est la température de fin de compression isentropique. 3 $\to$ 4 : combustion isobare, débit de carburant $D_{m f}$ . 4 $\to$ 5 $\to$ 6 : détente dans la turbine (rendement $η_{T}$ = travail réel / travail isentropique) puis dans la tuyère, jusqu'à $P_{6} \approx P_{1}$ .

On note $χ_{s} = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_{s}$ , $ρ_{a}$ et $M_{a}$ la masse volumique et la masse molaire de l'air.

Q8. Exprimer $χ_{s}$ pour un gaz parfait en fonction de $P$ et $γ$ .
Q9. Avec $V_{so n} = 1/ ρ χ_{s}$ , exprimer $V_{so n}$ en fonction de $γ$ , $M_{a}$ , $R$ , $T$ .
Q10. Exprimer $c_{p}$ (massique) d'un gaz parfait en fonction de $γ$ , $M$ , $R$ .
Q11. Exprimer le débit massique d'air $D_{ma}$ en fonction de $μ_{1}$ , $ρ_{a}$ , $M_{a}$ , $A_{e}$ , $T_{1}$ et des constantes.

Figure 11 — Débit massique d'air en fonction de l'altitude et du nombre de Mach ( $1 5^{\circ} C$ et $1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ au niveau de la mer).

Q12. Exprimer $T_{2}$ puis $P_{2}$ en fonction de $T_{1}$ (resp. $P_{1}$ ), $γ$ et $μ_{1}$ .
Q13. Exprimer $T_{3}$ en fonction de $T_{2}$ , $γ$ , $r_{c}$ , $η_{c}$ , puis la puissance $P_{co m p}$ reçue par l'air dans le compresseur en fonction de $D_{ma}$ , $R$ , $M_{a}$ , $γ$ , $T_{2}$ , $r_{c}$ , $η_{c}$ .

Corrigé

Q8. Pour un gaz parfait de $γ$ constant, une évolution isentropique (adiabatique réversible) suit la loi de Laplace $P V^{γ} = cste$ . En différentiant le logarithme : $\frac{d P}{P} + γ \frac{d V}{V} = 0$ , d'où $(\frac{\partial V}{\partial P})_{s} = - \frac{V}{γ P}$ et

$χ_{s} = \frac{1}{γ P}$

(en $P a^{- 1}$ : un gaz est d'autant moins compressible que sa pression est grande).

Q9. L'équation d'état du gaz parfait en variables massiques donne $ρ = \frac{P M _{a}}{R T}$ . Alors $ρ χ_{s} = \frac{ρ}{γ P} = \frac{M _{a}}{γ R T}$ et

$V_{so n} = \frac{γ R T}{M _{a}}$

Avec $M_{a} = 0, 2 \times 32 + 0, 8 \times 28 = 28, 8 g \cdot mo l^{- 1}$ (air à $20%$ de $O X_{2}$ et $80%$ de $N X_{2}$ ) et $T_{1} = 250 K$ : $V_{so n} = 318 m \cdot s^{- 1}$ . La vitesse de croisière $V_{p} = 153 m \cdot s^{- 1}$ correspond donc à $μ_{1} = 0, 48 \approx 0, 5$ , ce qui est cohérent avec la suite. Homogénéité : $J \cdot mo l^{- 1} / kg \cdot mo l^{- 1} = m^{2} \cdot s^{- 2}$ .

Q10. Relation de Mayer pour un gaz parfait, en grandeurs massiques : $c_{p} - c_{v} = \frac{R}{M}$ . Avec $γ = c_{p} / c_{v}$ , on a $c_{v} = c_{p} / γ$ et

$c_{p} = \frac{γ R}{( γ - 1 ) M}$

Pour l'air : $c_{p} = \frac{1 , 4 \times 8 , 314}{0 , 4 \times 0 , 0288} = 1, 01 \times 1 0^{3} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Q11. En régime stationnaire, l'air qui traverse la section d'entrée $A_{e}$ à la vitesse $V_{p}$ (dans le référentiel du moteur) fournit le débit massique $D_{ma} = ρ_{a} A_{e} V_{p}$ , et $V_{p} = μ_{1} V_{so n} (T_{1})$ :

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