Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie A-2 (suite) (Q14 à Q23) : Combustion du dodécane, température de fin de combustion, détente, émissions de CO2, vitesse de croisière

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations et données de Q8 à Q13 (figures 9 et 10). Le carburant est modélisé par le dodécane $C X_{12} H X_{26}$ , brûlé complètement ; l'air contient $20%$ de $O X_{2}$ et $80%$ de $N X_{2}$ (en quantité de matière).

Q14. Écrire l'équation de combustion (coefficient $1$ pour le dodécane) ; en déduire le rapport stœchiométrique $A F R$ = masse d'air / masse de carburant.

À $6500 m$ , seuls $20%$ de l'air entrant participent à la combustion (débit $0, 2 D_{ma}$ ), la combustion restant complète.

Q15. En déduire le débit de carburant $D_{m f}$ en vol à $6500 m$ et Mach $0, 5$ .
Q16. Calculer $Δ_{r} H^{\circ}$ de la combustion (enthalpie de vaporisation négligée) ; commenter le signe.

Le dodécane arrive gazeux à $T_{3}$ dans la chambre ; grâce à la valeur de l' $A F R$ , on néglige l'énergie nécessaire pour l'échauffer jusqu'à $T_{4}$ .

Q17. Par un bilan sur la chambre de combustion, exprimer $T_{4}$ en fonction de $T_{3}$ , $M_{a}$ , $Δ_{r} H^{\circ}$ , $R$ et $γ$ .
Q18. Exprimer la puissance totale $P_{t o t}$ extraite pendant les détentes 4 $\to$ 5 et 5 $\to$ 6, en fonction de $D_{ma}$ , $T_{4}$ , $A F R$ , des constantes et des pressions $P_{4}$ et $P_{1}$ .
Q19. Exprimer la puissance reçue par l'hélice en fonction des puissances des différents étages et du rendement $η_{m}$ de la chaîne cinématique.

Figure 12 — Diagramme $T$ – $s$ du cycle de Brayton du turbopropulseur, à Mach $0, 5$ .

Q20. Qualitativement, comment la figure 12 est-elle modifiée si le système n'est pas adiabatique, si la combustion est incomplète, s'il y a des pertes de charge ?
Q21. En déduire le débit massique de $CO X_{2}$ émis par l'avion (deux turbopropulseurs, $6500 m$ , $20%$ d'air utile).
Q22. Calculer la consommation de carburant par passager pour $100 km$ en croisière ( $78$ passagers) ; comparer à la donnée constructeur ( $2, 4 L$ ) et conclure sur le modèle.

Figure 13 — Vue d'ensemble de la modélisation thermodynamique (étiquettes du sujet, masquées dans la version allégée).

La figure 14 donne la puissance propulsive totale ( $80%$ de $P_{h e ˊ l i ce}$ , deux moteurs), la figure 15 la puissance de la résistance de l'air, en atmosphère standard.

Figures 14 et 15 — Puissance théorique propulsant l'avion ; puissance résistante de l'air.

Q23. Analyser les valeurs de ces courbes et expliquer pourquoi la vitesse de croisière est Mach $0, 5$ .

Corrigé

Q14. Pour une mole de dodécane, $12$ moles de $CO X_{2}$ et $13$ moles de $H X_{2} O$ sont formées ; la conservation de l'élément oxygène demande $\frac{2 \times 12 + 13}{2} = \frac{37}{2}$ moles de $O X_{2}$ , accompagnées de $4 \times \frac{37}{2} = 74$ moles de $N X_{2}$ (spectateur) :

$C X_{12} H X_{26} + \frac{37}{2} O X_{2} + 74 N X_{2} 12 CO X_{2} + 13 H X_{2} O + 74 N X_{2}$

Masse d'air stœchiométrique par mole de carburant : $18, 5 \times 32 + 74 \times 28 = 592 + 2072 = 2664 g$ ; masse molaire du dodécane : $12 \times 12 + 26 = 170 g \cdot mo l^{- 1}$ . Donc

$A F R = \frac{2664}{170} \approx 15, 7.$

Il faut environ $16 kg$ d'air pour brûler $1 kg$ de kérosène ; on note que cela représente $92, 5$ moles d'air par mole de carburant.

Q15. Le débit d'air brûlant est en proportions stœchiométriques avec le carburant : $0, 2 D_{ma} = A F R \cdot D_{m f}$ , soit

$D_{m f} = \frac{0 , 2 D _{ma}}{A F R} .$

Lecture de la figure 11 à $6500 m$ et Mach $0, 5$ : $D_{ma} \approx 19 kg \cdot s^{- 1}$ par moteur, d'où $D_{m f} = 0, 2 \times 19/15, 7 \approx 0, 24 kg \cdot s^{- 1}$ par moteur. L'aide numérique du sujet ( $0, 2 \times 15/15, 7 \approx 0, 19$ ) suggère que le jury a lu $D_{ma} \approx 15 kg \cdot s^{- 1}$ (valeur de la courbe Mach $0, 4$ ) ; nous indiquerons les deux résultats.

Q16. Loi de Hess, à partir des enthalpies standard de formation (celle de $O X_{2}$ , corps simple dans son état de référence, est nulle) :

$Δ_{r} H^{\circ} = 12 Δ_{f} H^{\circ} (CO X_{2}) + 13 Δ_{f} H^{\circ} (H X_{2} O) - Δ_{f} H^{\circ} (C X_{12} H X_{26}),$

$Δ_{r} H^{\circ} = - 4704 - 3081 + 355 = - 7430 kJ \cdot mo l^{- 1} .$

$Δ_{r} H^{\circ} < 0$ : la combustion est exothermique ; en régime monobare, elle cède de la chaleur, ici utilisée pour échauffer les gaz. Par kilogramme de carburant : $7430/0, 170 \approx 43, 7 MJ \cdot k g^{- 1}$ , cohérent avec le pouvoir calorifique du kérosène ( $11, 9 kWh \cdot k g^{- 1} = 42, 8 MJ \cdot k g^{- 1}$ ).

Q17. Système ouvert : la chambre de combustion, en régime stationnaire, adiabatique, sans travail utile, variations d'énergie cinétique négligées. Le premier principe impose que le débit d'enthalpie sortant égale le débit entrant. Chemin fictif : la réaction a lieu à $T_{3}$ (avancement par unité de temps $ξ ˙ = D_{m f} / M_{f}$ , où $M_{f} = 170 g \cdot mo l^{- 1}$ ), puis tout le gaz est échauffé de $T_{3}$ à $T_{4}$ . Comme $D_{m f} ≪ D_{ma}$ (un peu plus de $1%$ ), on assimile ce gaz à de l'air de débit $D_{ma}$ et de capacité $c_{p}$ :

$ξ ˙ Δ_{r} H^{\circ} + D_{ma} c_{p} (T_{4} - T_{3}) = 0.$

Avec $D_{m f} / D_{ma} = 0, 2/ A F R$ (Q15), $c_{p} = \frac{γ R}{( γ - 1 ) M _{a}}$ (Q10) et $A F R \cdot M_{f} = 92, 5 M_{a}$ (Q14) :

$T_{4} = T_{3} - \frac{0 , 2 ( γ - 1 ) M _{a} Δ _{r} H ^{\circ}}{γ R A F R M _{f}}$

soit

$T_{4} = T_{3} - \frac{( γ - 1 ) Δ _{r} H ^{\circ}}{462 , 5 γ R}$

où $462, 5 = 92, 5/0, 2$ est le nombre de moles d'air traversant la chambre par mole de carburant brûlée. AN : $T_{4} - T_{3} = \frac{0 , 4 \times 7 , 43 \times 1 0 ^{6}}{462 , 5 \times 1 , 4 \times 8 , 314} = 552 K$ . Avec le $T_{3} = 698 K$ de la figure 12, on retrouve exactement $T_{4} = 1250 K$ ; avec notre $T_{3} = 572 K$ (Q13), $T_{4} \approx 1120 K$ . Le signe est cohérent : $Δ_{r} H^{\circ} < 0$ donne $T_{4} > T_{3}$ .

Q18. Système ouvert : l'ensemble turbines et tuyère, adiabatique, en régime stationnaire, variations d'énergie cinétique négligées (au sens du modèle). Le débit de gaz brûlés est $D_{ma} + D_{m f} = D_{ma} (1 + \frac{0 , 2}{A F R})$ . Ce sont des gaz parfaits de coefficient $γ_{c}$ et de masse molaire voisine de $M_{a}$ : l'azote domine et les produits de Q14 ont une masse molaire moyenne de $2834/99 = 28, 6 g \cdot mo l^{- 1}$ . Donc $c_{p, c} = \frac{γ _{c} R}{( γ _{c} - 1 ) M _{a}}$ .

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