Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie A-3 (Q24 à Q30) : Régulateur centrifuge de pas d'hélice : théorème du moment dynamique, équation du mouvement, résonance

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Régulateur (figure 16 ; les photographies du sujet montrent des régulateurs réels) : arbre 1 tournant à $ω_{1}$ constante, masselottes identiques 3 et 4, distributeur 2 poussé par les masselottes et retenu par un ressort ; le point $M$ de 2 pilote la valve hydraulique du pas.

Liaisons	voir le graphe ; $Ω_{1/0} = ω_{1} k$ constante ; liaisons parfaites
Ressort	$F_{R \to 2} = - k_{R} z k$ , $z = O_{0} O_{2} \cdot k$ (écrasement depuis la position à vide $O_{0}$ )
Géométrie	$B_{3} G_{3} = a_{3} k_{3}$ , $B_{3} A_{3} \approx - b_{3} j_{3}$ , $O_{2} A_{3} = - c k + d j_{1}$ , $O_{0} B_{3} = - a k + b j_{1}$
Masses	$I_{1}$ (1 autour de $(O_{0}, k)$ ), $M_{2}$ ; $M_{3}$ , centre $G_{3}$ , $diag (A_{3}, B_{3}, C_{3})$ dans $(i_{1}, j_{3}, k_{3})$
Contact	$R_{2 \to 3} = - Z_{23} k$
Hypothèses	$β_{3}$ petit ; plan de symétrie $(O_{0}, k, i_{1})$ ; $R_{0}$ galiléen ; pesanteur négligée

À $ω_{1} \approx 100 rad \cdot s^{- 1}$ , le poids d'une masselotte ( $\approx 1, 5 N$ ) est faible devant l'effet centrifuge ( $\approx 100 N$ ).

Figure 16 — Schéma cinématique du régulateur dans le plan $(O_{0}, j_{1}, k)$ , paramétrage et graphe des liaisons.

Figure 17 — Ressort et origine de $z$ .

Q24. Expliquer l'avantage de ce rapport entre les deux forces.
Q25. Exprimer $β_{3}$ en fonction de $z$ .
Q26. Écrire le théorème du moment dynamique pour la masselotte 3, en $B_{3}$ , dans $R_{0}$ , projeté sur $i_{1}$ .
Q27. Appliquer le théorème de la résultante dynamique à 2 en projection sur $k$ .
Q28. En déduire l'équation du mouvement sous la forme $K_{1} z ¨ + K_{2} z = K_{3}$ .
Q29. Quel est l'inconvénient majeur de ce modèle ?

En palier, le pilote règle la vitesse d'hélice (levier CL, constante) et la puissance (levier POWER : débit de kérosène et déplacement du point $O_{0}$ ) ; le pas d'hélice absorbe l'excès de puissance à $ω_{1}$ constant. L'hélice et le régulateur sont en aval de réducteurs de rapports $r_{1} = 1/15$ (hélice) et $r_{2} = 0, 8$ (régulateur) ; la turbine tourne à $18000 tr \cdot mi n^{- 1}$ .

Figure 19 — Schéma de régulation de la puissance fournie à l'hélice (étiquettes du sujet, masquées dans la version allégée).

Pour POWER à $70%$ , en palier à Mach $0, 5$ et $6500 m$ , l'équation de Q28 s'écrit $5, 42 \times 1 0^{- 2} z ¨ + 7080 z = 14, 5$ (SI).

Q30. La structure transmettant des vibrations, le régulateur peut devenir un oscillateur forcé : d'après la figure 19, sa fréquence de résonance est-elle présente en vol (turbopropulseur, régulateur, hélice) ?

Corrigé

Q24. Le rapport des deux forces vaut $1, 5/100 \approx 1, 5%$ : la position d'équilibre des masselottes est fixée par l'effet centrifuge, donc par $ω_{1}$ , et pratiquement pas par la pesanteur. L'avantage est double :

le régulateur mesure la vitesse de rotation quelle que soit l'orientation de l'avion (montée, virage, turbulence, facteur de charge) ; son réglage ne dérive pas avec l'assiette ;
il est très sensible à $ω_{1}$ (effet en $ω_{1}^{2}$ ), et le modèle peut négliger le poids, ce qui le simplifie.

Q25. Fermeture géométrique de la chaîne $0$ – $1$ – $3$ – $2$ au point $A_{3}$ :

$O_{0} B_{3} + B_{3} A_{3} = O_{0} O_{2} + O_{2} A_{3},$

soit

$- a k + b j_{1} - b_{3} (cos β_{3} j_{1} + sin β_{3} k) = z k - c k + d j_{1},$

avec $j_{3} = cos β_{3} j_{1} + sin β_{3} k$ (rotation d'angle $β_{3}$ autour de $i_{1}$ ). La projection sur $j_{1}$ fixe seulement $d = b - b_{3} cos β_{3}$ (le contact sphère-plan autorise ce glissement). La projection sur $k$ donne :

$- a - b_{3} sin β_{3} = z - c ⟹ β_{3} \approx \frac{c - a - z}{b _{3}}$

Si les masselottes sont droites ( $β_{3} = 0$ ) ressort à vide, $c = a$ et $β_{3} = - z / b_{3}$ . Quand les masselottes s'écartent de l'axe, $k_{3}$ penche vers $+ j_{1}$ et $β_{3} < 0$ ; le point $A_{3}$ remonte et comprime le ressort ( $z$ augmente), ce qui est cohérent.

Q26. Système : la masselotte 3, dans le référentiel $R_{0}$ galiléen.

Actions extérieures, moments en $B_{3}$ projetés sur $i_{1}$ .

pivot $1 \to 3$ d'axe $(B_{3}, i_{1})$ , parfait : moment nul ;
poids : négligé ;
contact $2 \to 3$ en $A_{3}$ :

$B_{3} A_{3} \land (- Z_{23} k) = b_{3} Z_{23} j_{3} \land k = b_{3} Z_{23} cos β_{3} i_{1} .$

Moment dynamique. On part du centre d'inertie : $δ (B_{3}, 3/ R_{0}) = δ (G_{3}, 3/ R_{0}) + B_{3} G_{3} \land M_{3} Γ (G_{3} / R_{0})$ .

On a $Ω (3/ R_{0}) = β ˙_{3} i_{1} + ω_{1} k = β ˙_{3} i_{1} + ω_{1} sin β_{3} j_{3} + ω_{1} cos β_{3} k_{3}$ , d'où, dans la base principale $(i_{1}, j_{3}, k_{3})$ liée à 3 :

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