Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie A-4 (Q31 à Q33) : Validation du modèle : poussée en croisière, équilibre avec la traînée, commande électrique du pas

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend le régulateur de Q24 à Q30, dont l'équation en palier ( $6500 m$ , Mach $0, 5$ , POWER à $70%$ ) est $5, 42 \times 1 0^{- 2} z ¨ + 7080 z = 14, 5$ (SI). Les figures 20 à 22 donnent : le déplacement $z$ de la tige du régulateur en fonction du réglage de puissance (loi de Q28 extrapolée) ; l'angle de pas de l'hélice en fonction de $z$ ; la poussée totale des deux hélices en fonction du pas (POWER à $70%$ , $6500 m$ , Mach $0, 5$ ).

Figure 20 — Loi entrée-sortie du régulateur centrifuge.

Figure 21 — Angle de pas d'hélice en fonction du déplacement du distributeur.

Figure 22 — Poussée de l'hélice en fonction du pas, commande POWER à $70%$ .

Q31. Déterminer la force propulsive en palier ( $6500 m$ , Mach $0, 5$ ) à $70%$ de la puissance maximale.
Q32. Estimer, à partir des figures 2 et 3 ou de la figure 15, la force résistante de l'air dans ces conditions ; comparer et discuter la pertinence du modèle.
Q33. Pour un avion tout électrique, proposer sous forme de schéma cinématique un mécanisme de variation du pas sans hydraulique, actionné par un moteur électrique.

Corrigé

Q31. On enchaîne les trois lois de comportement.

Régulateur. Figure 20 : à $70%$ , $z \approx 2, 05 mm$ . C'est aussi la position d'équilibre de l'équation donnée : $z ¨ = 0 \Rightarrow z_{e} = 14, 5/7080 = 2, 05 \times 1 0^{- 3} m$ . Les deux sources concordent.
Distributeur et dôme. Figure 21 : pour $z = 2, 05 mm$ , $β \approx 4 6^{\circ}$ (fin de la partie linéaire, juste avant la montée raide vers la butée de $6 3^{\circ}$ ).
Hélice. Figure 22 : pour $β = 4 6^{\circ}$ , la poussée totale des deux hélices vaut

$F_{p r o p} \approx 1, 45 \times 1 0^{4} N$

(la partie linéaire a une pente d'environ $2, 0 \times 1 0^{3} N$ par degré à partir de $0$ en $39, 3^{\circ}$ ).

Ce que le correcteur attend : signaler la sensibilité de la chaîne. Entre $z = 2, 0$ et $2, 1 mm$ , $β$ passe de $45, 8^{\circ}$ à $46, 8^{\circ}$ et la poussée de $1, 36$ à $1, 6 \times 1 0^{4} N$ . Le résultat est donc à $\pm 10%$ : $F_{p r o p} \approx 1, 4$ à $1, 5 \times 1 0^{4} N$ .

Q32. Par le modèle de la partie A-1 (figures 2 et 3), la résistance de l'air en palier vaut

$T_{x} = \frac{K}{2} V_{p}^{2} = 0, 61 \times 15 3^{2} \approx 1, 43 \times 1 0^{4} N .$

Par la figure 15, à $6500 m$ et Mach $0, 5$ , la puissance résistante vaut environ $2, 15 MW$ . Comme $P = T_{x} V_{p}$ pour une force colinéaire à la vitesse :

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