Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Partie B-1 (Q34 à Q43) : Pile à combustible PEMFC : tension à vide, régression polynomiale (équation normale), modèle dynamique et Bode

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Énergies spécifiques : kérosène $11, 9 kWh \cdot k g^{- 1}$ , batteries $0, 10$ à $0, 25 kWh \cdot k g^{- 1}$ . La pile PEMFC ( $> 3 kWh \cdot k g^{- 1}$ , rendement de $40$ à $50%$ ) convertit l'énergie de la réaction entre $H X_{2}$ et $O X_{2}$ en travail électrique $W_{e}$ (la figure 23, profil de puissance d'un vol, n'est utilisée par aucune question).

Figure 24 — Structure simplifiée de la pile, source d'énergie électrique $W_{e}$ .

Anode : $H X_{2} 2 H X^{+} + 2 e X^{-}$ . Q34. Équilibrer la demi-équation cathodique $4 H X^{+} + 4 e X^{-} + a O X_{2} \to b H X_{2} O$ (donner $a$ et $b$ ).

Pile : $2 H X_{2} + O X_{2} 2 H X_{2} O$ ; à l'équilibre standard, $Δ_{r} G^{\circ} + n F E_{e q}^{\circ} = 0$ , avec $Δ_{r} G^{\circ} = - 237, 1 kJ \cdot mo l^{- 1}$ et $F = 96485 C \cdot mo l^{- 1}$ .

Q35. Calculer la tension à vide $E_{e q}^{\circ}$ de la cellule.

Figure 25 — Caractéristique mesurée de la cellule, sous $1 atm$ .

On approche $U_{P E M F C} = f (J_{P E M F C})$ par $U ~_{P E M F C} = \sum_{k = 0}^{K} p_{k} J_{P E M F C}^{k}$ ; la mesure numéro $i$ vérifie $U_{P E M F C} [i] = f (J_{P E M F C} [i])$ , pour $G + 1$ mesures.

Q36. Écrire $U ~_{P E M F C} [i] = r^{t} [i] p$ (expliciter $r [i]$ ).
Q37. En déduire $U ~_{P E M F C} = R p$ ( $R$ , matrice des régresseurs).
Q38. Compléter la fonction const_mat_regresseur (figure 26 du sujet ; arguments : $K + 1$ et les $G + 1$ densités mesurées) qui construit $R$ ; donner sa complexité.

On minimise la fonction convexe $∥ ε ∥_{2}^{2} = \sum_{i} (U_{P E M F C} [i] - U ~_{P E M F C} [i])^{2}$ par rapport aux $p_{k}$ ; le sujet rappelle $\frac{\partial}{\partial x} (y^{t} A x) = A^{t} y$ et $\frac{\partial}{\partial x} (x^{t} A^{t} A x) = 2 A^{t} A x$ .

Q39. Montrer que le vecteur $p$ optimal vérifie l'équation normale $(R^{t} R) p = R^{t} U_{P E M F C}$ .
Q40. Montrer que le modèle d'ordre $1$ équivaut à un générateur de tension avec une résistance interne en série.

Figure 27 — Comparaison des modèles d'ordre 1 et 7 aux mesures.

Q41. Décrire plusieurs critères pour comparer ces deux modèles.

Modèle dynamique (figure 28) : tension à courant nul $E_{e q}$ , résistances interne $R_{i}$ , d'activation $R_{a}$ , de concentration $R_{c}$ , capacité de double couche $C$ .

Figure 28 — Modèle électrique dynamique de la cellule.

Q42. Déterminer la forme canonique de la fonction de transfert de $I_{L}$ (entrée) vers $V_{L}$ (sortie), à $E_{e q}$ constante.
Q43. Tracer ses diagrammes de Bode asymptotiques ( $R_{i}, R_{a}, R_{c} > 1$ en ohms, $C > 0$ ).

Corrigé

Q34. Conservation de l'élément oxygène et de l'élément hydrogène (la charge est déjà équilibrée : $+ 4 - 4 = 0$ ) :

$4 H X^{+} + 4 e X^{-} + O X_{2} 2 H X_{2} O a = 1, b = 2.$

C'est la réduction du dioxygène (couple $O X_{2} / H X_{2} O$ ) à la cathode, où arrivent les électrons.

Q35. La valeur $Δ_{r} G^{\circ} = - 237, 1 kJ \cdot mo l^{- 1}$ est l'enthalpie libre standard de formation de l'eau : elle correspond à la réaction écrite pour une mole d'eau, $H X_{2} + \frac{1}{2} O X_{2} H X_{2} O$ , qui échange $n = 2$ électrons. Donc

$E_{e q}^{\circ} = - \frac{Δ _{r} G ^{\circ}}{n F} = \frac{237 , 1 \times 1 0 ^{3}}{2 \times 96 485} \approx 1, 23 V .$

Pour l'équation $2 H X_{2} + O X_{2} 2 H X_{2} O$ , on aurait $Δ_{r} G^{\circ} = - 474, 2 kJ \cdot mo l^{- 1}$ et $n = 4$ , donc la même tension : une tension est intensive.

Ce que le correcteur attend : ne pas associer $n = 4$ à $- 237, 1 kJ \cdot mo l^{- 1}$ , ce qui donnerait $0, 61 V$ , valeur fausse.

La tension mesurée à courant nul (figure 25, $\approx 1, 02$ à $1, 06 V$ ) est inférieure à $1, 23 V$ : conditions non standard (pressions partielles, température, eau), perméation de gaz à travers la membrane, potentiels mixtes.

Q36. Pour la mesure $i$ , avec $J_{i} = J_{P E M F C} [i]$ :

$U ~_{P E M F C} [i] = k = 0 \sum K p_{k} J_{i}^{k} = r^{t} [i] p, r [i] = (1, J_{i}, J_{i}^{2}, \dots, J_{i}^{K})^{t},$

c'est-à-dire $r_{k} = J_{i}^{k}$ pour $0 \leq k \leq K$ .

Q37. En empilant les $G + 1$ lignes $r^{t} [i]$ , on obtient la matrice $R$ de taille $(G + 1) \times (K + 1)$ , de terme général $r_{ik} = J_{i}^{k}$ :

$U ~_{P E M F C} = R p, R = 1 ⋮ 1 J_{0} ⋮ J_{G} J_{0}^{2} ⋮ J_{G}^{2} \dots \dots J_{0}^{K} ⋮ J_{G}^{K}$

(matrice de Vandermonde rectangulaire).

Q38. On remplit $R$ ligne par ligne, chaque puissance s'obtenant par une multiplication à partir de la précédente :


import numpy as np

def const_mat_regresseur(POLYNOME_TAILLE: int,
                         D_COURANT: np.ndarray) -> np.ndarray:
    # Création de la matrice des regresseurs
    NB_MESURES = len(D_COURANT)                       # G + 1
    MAT_REG_CONST = np.zeros((NB_MESURES, POLYNOME_TAILLE))
    for i in range(NB_MESURES):
        MAT_REG_CONST[i, 0] = 1.0                     # J^0
        for k in range(1, POLYNOME_TAILLE):
            MAT_REG_CONST[i, k] = MAT_REG_CONST[i, k - 1] * D_COURANT[i]
    return MAT_REG_CONST

La double boucle effectue $(G + 1) \times K$ multiplications et autant d'affectations : complexité temporelle $O ((G + 1) (K + 1))$ , soit $O (G K)$ , et mémoire du même ordre, celle de la matrice construite. Calculer chaque terme par D_COURANT[i]**k donnerait le même ordre si l'on compte la puissance flottante en temps constant. np.vander(D_COURANT, POLYNOME_TAILLE, increasing=True) fait la même chose.

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