Corrigé X-ENS 2026 Modélisation PSI — Parties B-2, B-3 et conclusion (Q44 à Q52) : Puissance massique et tension des machines synchrones, champ de deux conducteurs, décharges partielles (Paschen)

Q44. Au point de base, la puissance mécanique est $P={\Gamma }_{max}{\Omega }_b$, d'où la puissance massique

$$\frac{P}{M}=\frac{{\Gamma }_{max}}{M}{\Omega }_b.$$

Le couple est proportionnel au volume actif de la machine, au produit de la charge linéique de courant par l'induction dans l'entrefer. Ces deux grandeurs sont bornées : le courant par les pertes Joule, qu'il faut évacuer par la surface de la machine, l'induction par la saturation du fer. Pour une technologie et un refroidissement donnés, ${\Gamma }_{max}/M$ est donc à peu près fixé, et le seul levier restant pour augmenter $P/M$ est la vitesse de base ${\Omega }_b$ : on préfère une machine rapide et petite suivie d'un réducteur. La limite vient alors des pertes fer, croissantes avec la fréquence, et de la tenue mécanique du rotor.

Q45. À courant nul, le flux total ${\varphi }_t(t)$ à travers la phase est dû au seul rotor (aimants ou excitation) et varie avec sa rotation. La loi de Faraday donne une f.é.m. induite $-\frac{\mathrm{d}{\varphi }_t}{\mathrm{d}t}$ ; orientée en convention récepteur comme sur la figure 29, la force contre-électromotrice est

$$e(t)=\frac{\mathrm{d}{\varphi }_t}{\mathrm{d}t}.$$

Loi des mailles (résistance négligée) :

$$v(t)=L_c\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+e(t).$$

En régime sinusoïdal de pulsation $\omega$ :

$$\underline{V}(\omega )=\mathrm{i}{L}_c\omega \underline{I}(\omega )+\underline{E}(\omega ),\underline{E}=\mathrm{i}\omega {\underline{\Phi }}_t.$$

Avec ${\varphi }_t={\Phi }_{max}\cos (\omega t)$, l'amplitude de la f.c.é.m. vaut $E_{max}=\omega {\Phi }_{max}=p\Omega {\Phi }_{max}$ : elle est proportionnelle à la vitesse.

Q46. $\underline{I}$ et $\underline{E}$ étant en phase, $\mathrm{i}{L}_c\omega \underline{I}$ est en quadrature avec $\underline{E}$ : le diagramme de Fresnel est un triangle rectangle et

$$V_{max}=\sqrt{E_{max}^2+(L_c\omega I_{max}{)}^2}={\omega }_b\sqrt{{\Phi }_{max}^2+L_c^2{I}_{max}^2}=p{\Omega }_b\sqrt{{\Phi }_{max}^2+L_c^2{I}_{max}^2}.$$

À courant maximal $I_{max}$ fixé (donc à pertes Joule et couple fixés, le couple étant proportionnel à ${\Phi }_{max}{I}_{max}$ quand $i$ et $e$ sont en phase), l'amplitude de la tension d'alimentation est proportionnelle à ${\Omega }_b$ : doubler la vitesse de base double la tension.

Conséquence. Augmenter la puissance massique impose d'augmenter ${\Omega }_b$ (Q44), donc la tension d'alimentation. La puissance $P\propto E_{max}{I}_{max}$ croît alors par la tension et non par le courant, ce qui évite d'alourdir les conducteurs. L'aviation électrique tend ainsi vers des réseaux de bord de plusieurs centaines de volts, voire de quelques kilovolts.