Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie I (Q1 à Q6) : Onde de compression dans une chaîne de ressorts : énergies, célérité, équation de d'Alembert

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le problème étudie les ondes mécaniques dans une plaque solide homogène d'épaisseur $e$ , de largeur $l$ et de longueur $L$ , au repos dans le plan $(O x y)$ ; la gravité est négligée et les déformations sont petites devant toutes les autres longueurs.

En préambule, des molécules identiques de masse $m$ , confinées sur l'axe $(O x)$ , sont reliées par des ressorts identiques de raideur $κ$ et de longueur à vide $a$ ; au repos, elles sont équidistantes de $a$ (figure 2). Au passage d'une onde, la molécule s'écarte de $u$ de sa position de repos ; pour $a ≪ λ$ , on décrit le milieu comme continu avec l'onde plane progressive harmonique (OPPH) $u (x, t) = U sin (k x - ω t)$ .

{Figure 2 — Chaîne de molécules identiques reliées par des ressorts $(κ, a)$ : au repos (haut) et au passage d'une onde de compression (bas)}

Q1. Énergie potentielle élastique du $n$ -ième ressort, d'élongation $δ_{n}$ .
Q2. Écrire, sous forme de somme discrète, l'énergie potentielle $E_{p}^{λ}$ emmagasinée sur une longueur d'onde.
Q3. L'élongation locale vérifiant $δ (x, t) / a = \partial u / \partial x$ , justifier que $E_{p}^{λ} = \frac{1}{2} κa \int_{0}^{λ} (\partial u / \partial x)^{2} d x$ .
Q4. Écrire l'énergie cinétique $E_{c}^{λ}$ sur une longueur d'onde sous forme d'intégrale.
Q5. En admettant $E_{c}^{λ} = E_{p}^{λ}$ , en déduire $ω^{2} = k^{2} c^{2}$ ; expression et sens physique de $c$ .
Q6. Proposer l'équation de propagation linéaire en $u (x, t)$ correspondant à cette relation de dispersion ; la commenter.

Corrigé

Q1. Un ressort idéal de raideur $κ$ , allongé de $δ_{n}$ par rapport à sa longueur à vide, stocke l'énergie potentielle élastique

$E_{p, n} = \frac{1}{2} κ δ_{n}^{2},$

valable en extension ( $δ_{n} > 0$ ) comme en compression ( $δ_{n} < 0$ ), à une constante additive près choisie nulle au repos.

Q2. Le ressort $n$ relie les molécules $n$ et $n + 1$ , de positions de repos $x_{n} = na$ et $x_{n + 1} = (n + 1) a$ ; sa longueur vaut $a + u_{n + 1} - u_{n}$ , d'où $δ_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ . Une longueur d'onde contient $N = λ / a$ ressorts (entier grand puisque $a ≪ λ$ ), donc

$E_{p}^{λ} = n = 1 \sum λ / a \frac{1}{2} κ δ_{n}^{2} = n = 1 \sum λ / a \frac{1}{2} κ [u ((n + 1) a, t) - u (na, t)]^{2} .$

Q3. Avec $δ_{n} = a \partial u / \partial x$ évalué en $x_{n}$ (développement de Taylor à l'ordre 1, légitime car $u$ varie sur l'échelle $λ ≫ a$ ) :

$E_{p}^{λ} = n \sum \frac{1}{2} κ a^{2} (\frac{\partial u}{\partial x})_{x_{n}}^{2} = \frac{1}{2} κa n \sum (\frac{\partial u}{\partial x})_{x_{n}}^{2} a .$

La dernière somme est une somme de Riemann de pas $a = d x$ : dans la limite continue ( $a ≪ λ$ ), elle tend vers l'intégrale, d'où

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