Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie II (Q7 à Q9) : Énergie élastique d'une plaque en compression homogène (réseau cubique de ressorts)

Le solide est modélisé par des molécules identiques de masse $m$ aux nœuds d'un réseau cubique de maille $a$, reliées à leurs plus proches voisines par des ressorts de raideur $\kappa$ et de longueur à vide $a$ (figure 3) ; les dimensions $e$, $l$, $L$ de la plaque au repos sont très grandes devant $a$.

{Figure 3 — Solide vu comme un réseau cubique de maille $a$ ; les traits sont des ressorts $(\kappa ,a)$}

On comprime la plaque selon $(Ox)$ par deux forces opposées appliquées à ses extrémités : elle se raccourcit de $\Delta L$ sans changer de dimensions selon $(Oy)$ et $(Oz)$ ; seuls les ressorts parallèles à $(Ox)$ se déforment.

Q7. En régime statique, la compression est homogène : tous les ressorts selon $(Ox)$ se compriment de la même longueur $\delta$. Tracer l'allure du déplacement $u(x)$.
Q8. Exprimer, en fonction de $e$, $l$, $L$ (et $a$), le nombre de ressorts comprimés.
Q9. Montrer que l'énergie potentielle élastique de la plaque comprimée vaut $E_p^L=\frac{1}{2}K\frac{el}{L}\Delta L^2$, avec $K=\kappa /a$ la « raideur par unité de longueur ».