Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie III (Q10 à Q13) : Flexion d'une tranche : fibre neutre, rayon de courbure, énergie en e³/Rc²

Une tranche de plaque (longueur $L$, largeur $l$, épaisseur $e$), soumise à des contraintes de flexion, prend la forme d'un arc de cercle d'angle $\theta$ et de centre $C$, invariant selon $(Oy)$ (figure 4). Sa longueur moyenne est inchangée : la face extérieure s'étire, la face intérieure se contracte. La fibre neutre, dont la longueur ne varie pas, est au milieu de la plaque, à la distance $R_C$ de $C$. Les résultats de la partie II restent valables, en particulier $E_p^L=\frac{1}{2}K\frac{el}{L}\Delta L^2$ (Q9).

{Figure 4 — Élément de plaque en flexion (vue de côté). Fibre neutre en pointillés au milieu de la tranche ; en gris foncé, la tranche infinitésimale d'épaisseur $\mathrm{d}r$}

Q10. Sens physique de $R_C$ ; relation géométrique entre $R_C$, $\theta$ et $L$.
Q11. On note $r$ la distance algébrique d'un point de la plaque à la fibre neutre ($r>0$ dans la zone en extension, $r<0$ dans la zone en compression). Exprimer l'élongation de la fibre comprise entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$ en fonction de $r$, $L$ et $R_C$.
Q12. À l'aide de Q9, exprimer l'énergie potentielle élémentaire emmagasinée par cet élément.
Q13. En déduire que l'énergie élastique de la tranche sur toute son épaisseur s'écrit $E_p^L=AKLl{e}^3/R_c^2$ ; donner le préfacteur numérique $A$.