Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie IV (Q14 à Q20) : Ondes de flexion : relation de dispersion ω ∝ k², vitesse de groupe double de la vitesse de phase

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La plaque (épaisseur $e$ , largeur $l$ , masse volumique $ρ$ ) est parcourue par une onde de flexion plane progressive harmonique se propageant selon $(O x)$ , invariante selon $(O y)$ (figure 1). La fibre neutre, au milieu de l'épaisseur, occupe la cote $Z (x, t) = a_{Z} sin (k x - ω t)$ ; les déformations sont faibles. Résultat de Q13 : une tranche de longueur $L$ courbée avec le rayon $R_{c}$ stocke $E_{p}^{L} = A K L l e^{3} / R_{c}^{2}$ .

{Figure 1 — Plaque de solide élastique soumise à des déformations en flexion}

Q14. On note $α (x, t)$ l'inclinaison locale de la plaque par rapport à l'horizontale. Relier $α$ à $Z$ (faibles déformations).

On assimile localement la plaque à un arc de cercle de rayon variable : $d s = R_{c} d α$ le long de la fibre neutre, et, pour de faibles déformations, $1/ R_{c} = \partial^{2} Z / \partial x^{2}$ .

Q15. Calculer l'énergie potentielle élastique $E_{p}^{λ}$ sur une longueur d'onde.
Q16. Exprimer l'énergie cinétique totale $E_{c}^{λ}$ sur une longueur d'onde en fonction des paramètres de l'OPPH.
Q17. En admettant l'égalité des moyennes temporelles de ces deux énergies, établir la relation de dispersion $12 ω^{2} = e^{2} c^{2} k^{4}$ .
Q18. Exprimer $c$ en fonction de $K$ et de $ρ$ ; valeur numérique et commentaire pour le verre ( $K = 70 GPa$ , $ρ = 2500 kg \cdot m^{- 3}$ ).
Q19. Montrer que la vitesse de groupe vaut le double de la vitesse de phase. Variation de ces vitesses avec la fréquence ; conséquence pour un paquet d'ondes.
Q20. Par la méthode de Q6, proposer une équation de propagation linéaire pour $Z (x, t)$ ; commenter chacun de ses termes.

Corrigé

Q14. La pente de la fibre neutre dans le plan $(O x z)$ est $\partial Z / \partial x$ , et l'inclinaison vérifie $tan α = \partial Z / \partial x$ . En faibles déformations ( $∣ \partial Z / \partial x ∣ \sim k a_{Z} ≪ 1$ ), $tan α ≃ α$ :

$α (x, t) = \frac{\partial Z}{\partial x} (x, t) .$

Contrôle de cohérence avec la relation admise : au même ordre, $d s ≃ d x$ et $d α = (\partial^{2} Z / \partial x^{2}) d x$ , donc $1/ R_{c} = d α / d s = \partial^{2} Z / \partial x^{2}$ : c'est bien la courbure donnée par l'énoncé.

Q15. D'après Q13, une tranche de longueur $L$ de courbure uniforme stocke une énergie proportionnelle à $L$ . Localement, un élément de longueur $d s ≃ d x$ de courbure $1/ R_{c} (x, t)$ stocke donc

$d E_{p} = A K l e^{3} (\frac{1}{R _{c}})^{2} d x = A K l e^{3} (\frac{\partial ^{2} Z}{\partial x ^{2}})^{2} d x .$

Avec $\partial^{2} Z / \partial x^{2} = - k^{2} a_{Z} sin (k x - ω t)$ et $\int_{0}^{λ} sin^{2} (k x - ω t) d x = λ /2$ :

$E_{p}^{λ} = A K l e^{3} k^{4} a_{Z}^{2} \frac{λ}{2},$

soit, avec $A = 1/24$ ,

$E_{p}^{λ} = \frac{K l e ^{3} k ^{4} a _{Z}^{2} λ}{48} .$

Cette énergie ne dépend pas de $t$ : sur une longueur d'onde entière, l'onde progressive ne fait que se translater.

Q16. Chaque élément de plaque de longueur $d x$ , de masse $ρ e l d x$ , se déplace verticalement à la vitesse $\partial Z / \partial t = - ω a_{Z} cos (k x - ω t)$ (on néglige, en faibles déformations, les déplacements horizontaux et l'énergie cinétique de rotation des sections, d'ordre $(k e)^{2}$ plus petite). Donc

$E_{c}^{λ} = \int_{0}^{λ} \frac{1}{2} ρ e l (\frac{\partial Z}{\partial t})^{2} d x = \frac{1}{2} ρ e l ω^{2} a_{Z}^{2} \frac{λ}{2}, E_{c}^{λ} = \frac{ρ e l ω ^{2} a _{Z}^{2} λ}{4} .$

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