Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie V (Q21 à Q31) : Applications : modes propres d'une flûte à champagne, séismes, chant d'un lac gelé

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On utilise la relation de dispersion des ondes de flexion $12 ω^{2} = e^{2} c^{2} k^{4}$ avec $c = K / ρ$ (Q17, Q18).

Modes propres d'un anneau.

Une flûte à champagne, qui chante sous un doigt mouillé, est assimilée à un cylindre vertical de hauteur $h = 10 cm$ , d'épaisseur $e = 0, 5 mm$ et de rayon $R_{0} = 2 cm$ , en verre ( $K = 70 GPa$ , $ρ = 2500 kg \cdot m^{- 3}$ ), dont les déformations sont purement radiales et uniformes selon la verticale (figure 5). Un mode propre est la superposition de deux ondes de même amplitude tournant en sens opposés ( $s$ : abscisse le long de l'anneau) : $Z (s, t) = a_{Z} sin (k s - ω t) + a_{Z} sin (k s + ω t)$ .

{Figure 5 — Déformations transverses du cylindre (vue de dessus), position de repos en pointillés : second mode propre, oscillation en opposition de phase selon deux directions perpendiculaires}

Q21. Citer un système d'un autre domaine de la physique où une condition aux limites périodique quantifie le nombre d'onde.
Q22. Écrire la condition de quantification de $k$ pour la flûte.
Q23. La figure 5 montre le second mode propre : représenter le premier et décrire le mouvement.
Q24. Le doigt mouillé sélectionne le second mode : exprimer sa fréquence.
Q25. Application numérique et discussion.

Séismes.

La croûte terrestre est vue comme une plaque d'épaisseur $e = 30 km$ , de raideur $K = 100 GPa$ et de masse volumique $ρ = 2800 kg \cdot m^{- 3}$ .

Q26. Les ondes de compression (ondes P) vont à $6 km \cdot s^{- 1}$ : est-ce cohérent ?
Q27. Les ondes S, assimilées aux ondes de flexion, iraient à $4 km \cdot s^{- 1}$ : vitesse de phase ou de groupe ?
Q28. Calculer la longueur d'onde des ondes S.

Lac gelé.

Une pierre qui frappe la glace d'un lac crée un train d'ondes de flexion de quelques dizaines de hertz à quelques kilohertz ; les vibrations de la glace rayonnent un son audible, enregistré à une certaine distance (figure 6 : deux impacts, origine des temps arbitraire).

{Figure 6 — Diagramme temps-fréquence du son créé par deux impacts sur une couche de glace (niveau de gris : puissance en $dB/Hz$ , clair = fort). Courbes redessinées d'après la lecture du sujet}

Q29. Commenter la figure 6.
Q30. Comment, en principe, en déduire l'épaisseur de la glace ?
Q31. Pourquoi le son perçu diffère-t-il à $50 m$ et à $500 m$ de l'impact ?

Corrigé

Q21. Une condition aux limites périodique quantifie le nombre d'onde chaque fois qu'une onde doit « se refermer sur elle-même ». Exemple : le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, où l'onde de matière de de Broglie associée à l'électron sur une orbite circulaire de rayon $r$ doit être stationnaire, soit $2 π r = nλ$ ( $n \in N^{*}$ ), ce qui quantifie le moment cinétique et l'énergie. Autres exemples acceptables : une particule quantique sur un anneau, les conditions de Born-von Kármán d'un réseau cristallin, une cavité laser en anneau.

Q22. Développons : $Z (s, t) = 2 a_{Z} sin (k s) cos (ω t)$ . C'est une onde stationnaire. L'anneau étant fermé, de périmètre $2 π R_{0}$ , le déplacement doit être périodique en $s$ : $Z (s + 2 π R_{0}, t) = Z (s, t)$ pour tous $s$ et $t$ , soit $sin (k s + 2 π k R_{0}) = sin (k s)$ pour tout $s$ , ce qui impose $2 π k R_{0} \in 2 π N$ :

$k_{n} = \frac{n}{R _{0}}, soit 2 π R_{0} = n λ_{n}, n \in N^{*},$

le cas $n = 0$ donnant $Z \equiv 0$ . Le périmètre contient un nombre entier de longueurs d'onde ; le mode $n$ possède $2 n$ nœuds et $2 n$ ventres. La figure 5 ( $Z \propto sin (2 s / R_{0})$ , quatre ventres alternés) correspond bien à $n = 2$ .

Q23. Pour $n = 1$ , $λ_{1} = 2 π R_{0}$ et, avec l'angle polaire $φ = s / R_{0}$ , $Z = 2 a_{Z} sin φ cos (ω t)$ : le rayon vaut $R_{0} + 2 a_{Z} cos (ω t) sin φ$ . Au premier ordre en $a_{Z}$ , $r = R_{0} + b sin φ$ est l'équation d'un cercle de rayon $R_{0}$ dont le centre est décalé de $b$ selon $φ = π /2$ : la section reste circulaire et se translate en bloc, le côté $φ = π /2$ s'éloignant du centre de repos pendant que le côté opposé s'en rapproche.

{ Premier mode ( $n = 1$ ) : l'anneau (trait plein) est translaté d'un bloc par rapport au repos (pointillés), puis oscille de part et d'autre}

Le verre oscille donc d'avant en arrière selon une direction, sans se déformer au premier ordre. Remarque : pour un vrai anneau, ce mouvement de corps rigide n'est associé à aucune énergie de flexion (la courbure ne change pas) ; il n'y a pas de force de rappel élastique et ce n'est pas un mode de vibration du verre (le pied le bloque). Le modèle « plaque plane enroulée » lui attribue une fréquence $ω_{1} = ec / (12 R_{0}^{2})$ , artefact de l'approximation. Cela explique aussi que le premier mode vibrant observé soit $n = 2$ .

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