Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie VI (amplitude) (Q32 à Q40) : Vibrométrie laser : interféromètre, formule de Fresnel, point de quadrature, défilement des franges

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un vibromètre laser mesure sans contact les vibrations d'une plaque, par exemple la table d'harmonie d'un violon (amplitude $a_{z} = 100 μ m$ , fréquence $1 kHz$ ). Il envoie un faisceau laser de longueur d'onde $λ_{l} = 315 nm$ (fréquence $f_{l}$ ) sur la plaque, qui le renvoie ; le faisceau revenu interfère avec un faisceau de référence dans l'appareil, et une photodiode de temps de réponse $5 ns$ convertit l'intensité lumineuse en tension $U (t)$ (figure 7).

{Figure 7 — Vibrométrie laser : a) schéma de principe ; b) montage optique équivalent}

Le faisceau issu de la source $O$ est divisé par la séparatrice $S_{0}$ . Référence : réfléchie par $S_{0}$ , transmise par $S_{1}$ , réfléchie par le miroir $M_{1}$ , réfléchie par $S_{1}$ , transmise par $S_{3}$ vers la photodiode $P$ . Sonde : transmise par $S_{0}$ et $S_{2}$ , réfléchie sous incidence normale par la plaque (miroir plan $M_{2}$ d'abscisse $z = a_{z} sin ω t$ ), réfléchie par $S_{2}$ puis par $S_{3}$ vers $P$ . Toutes les distances entre composants consécutifs valent $d = 1 cm$ ( $O S_{0} = S_{0} S_{1} = S_{1} S_{3} = S_{3} P = S_{0} S_{2} = S_{2} S_{3} = d$ ), sauf $S_{1} M_{1} = d + ϵ$ ( $ϵ$ réglé par une vis micrométrique) et $S_{2} M_{2} = D + z (t)$ . Séparatrices idéales (moitié de l'énergie transmise, moitié réfléchie) ; déphasages dus aux lames négligés. Modèle scalaire : à l'arrivée sur $P$ , $s_{1} = a_{1} cos ϕ_{1}$ (référence) et $s_{2} = a_{2} cos ϕ_{2}$ (sonde) ; $a_{0}$ est l'amplitude à la source.

Q32. Exprimer $a_{1}$ et $a_{2}$ . Pourquoi ne pas remplacer $S_{1}$ par un miroir judicieusement orienté ?
Q33. Exprimer $ϕ_{1}$ et $ϕ_{2}$ en fonction des distances et du temps.
Q34. Condition sur $D$ pour observer des interférences ; ordre de grandeur. On prend ensuite $D = d$ .
Q35. Montrer que la photodiode délivre $U (t) = U_{0} (1 + cos (4 π (z (t) - ϵ) / λ_{l}))$ .
Q36. Pour $a_{z} ≪ λ_{l}$ et au contact optique ( $ϵ = 0$ ), représenter $U (t)$ sur une période de vibration ; commenter.
Q37. Réglage de la vis rendant la mesure la plus sensible ; précision requise.
Q38. Tracer $U (t)$ dans ce cas optimisé.
Q39. Représenter $U (t)$ sur une période lorsque $a_{z} ≫ λ_{l}$ .
Q40. Comment en déduire $a_{z}$ à l'oscilloscope ?

Corrigé

Q32. Une séparatrice idéale partage l'énergie, donc l'intensité (proportionnelle au carré de l'amplitude), en deux moitiés : à chaque réflexion ou transmission, l'amplitude est multipliée par $1/ 2$ . Les miroirs $M_{1}$ et $M_{2}$ réfléchissent tout. Le faisceau de référence rencontre quatre fois une séparatrice ( $S_{0}$ en réflexion, $S_{1}$ en transmission, $S_{1}$ en réflexion, $S_{3}$ en transmission), le faisceau sonde aussi ( $S_{0}$ et $S_{2}$ en transmission, $S_{2}$ et $S_{3}$ en réflexion). D'où

$a_{1} = a_{2} = \frac{a _{0}}{( 2 ) ^{4}} = \frac{a _{0}}{4} .$

Pourquoi une séparatrice en $S_{1}$ ? Le composant placé en $S_{1}$ doit laisser passer le faisceau montant vers $M_{1}$ et dévier vers $S_{3}$ le faisceau qui en redescend : un miroir ne peut pas faire les deux. Incliné à $4 5^{\circ}$ , il enverrait directement le faisceau vers $S_{3}$ : plus de bras $M_{1}$ , donc plus de réglage $ϵ$ de la différence de marche (indispensable en Q37) ; la référence aurait alors l'amplitude $a_{0} /2$ (deux passages seulement) contre $a_{0} /4$ pour la sonde, et le contraste $2 I_{1} I_{2} / (I_{1} + I_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} / (\frac{1}{4} + \frac{1}{16}) = 0, 8$ serait moins bon. Avec $S_{1}$ , les deux voies traversent le même nombre de séparatrices : amplitudes égales et contraste maximal, égal à 1.

Q33. Dans l'air (indice pris égal à 1), une onde de fréquence $f_{l}$ ayant parcouru le chemin $L$ a la phase $2 π f_{l} t - 2 π L / λ_{l}$ (retard de propagation $L / c_{0}$ ). Chemins optiques jusqu'à $P$ :

$L_{1} = O S_{0} + S_{0} S_{1} + 2 S_{1} M_{1} + S_{1} S_{3} + S_{3} P = 6 d + 2 ϵ,$

$L_{2} = O S_{0} + S_{0} S_{2} + 2 S_{2} M_{2} + S_{2} S_{3} + S_{3} P = 4 d + 2 D + 2 z (t),$

donc

$ϕ_{1} (t) = 2 π f_{l} t - \frac{2 π}{λ _{l}} (6 d + 2 ϵ), ϕ_{2} (t) = 2 π f_{l} t - \frac{2 π}{λ _{l}} (4 d + 2 D + 2 a_{z} sin ω t) .$

Chaque voie subit trois réflexions (référence : $S_{0}$ , $M_{1}$ , $S_{1}$ ; sonde : $M_{2}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ ) : les éventuels déphasages de réflexion sont les mêmes et se compensent. La plaque se déplace très lentement devant la durée de trajet de la lumière ( $2 D / c_{0} \sim 1 0^{- 10} s ≪ 1 0^{- 3} s$ ) : on la traite comme immobile à chaque instant (approximation quasi statique).

Q34. La différence de marche vaut $δ = L_{2} - L_{1} = 2 (D - d) + 2 (z - ϵ)$ . Les deux ondes, issues de la même source par division d'amplitude, sont synchrones ; elles ne restent cohérentes que si les deux trains d'onde qui se superposent en $P$ sont issus du même train émis, c'est-à-dire si $∣ δ ∣$ reste inférieur à la longueur de cohérence $L_{c}$ du laser :

$2 ∣ D - d ∣ ≲ L_{c} .$

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