Corrigé X-ENS 2026 Physique MP — Partie VI (vitesse) (Q41 à Q56) : Vibrométrie laser Doppler : battement, décalage de Bragg, modulation de fréquence, démodulation par dérivateur

Q41. Travaillons dans le référentiel du vibromètre, axe orienté dans le sens de propagation de l'onde incidente (de $S_2$ vers $M_2$), origine au point où le miroir reçoit le front à $t=0$. Le front suivant est alors à la distance $\lambda =c_{0}T$ en arrière, en $x=-c_{0}T$, et se trouve en $x=-c_{0}T+c_{0}t$ ; le miroir est en $x=vt$. La rencontre a lieu quand $-c_{0}T+c_0{T}^{\prime }=v{T}^{\prime }$ :

$$\boxed{T^{\prime }=\frac{T}{1-v/c_0}\simeq T\left(1+\frac{v}{c_0}\right),}$$

avec bien $T^{\prime }>T$ si $v>0$ : le miroir « fuit » devant l'onde et les fronts l'atteignent moins souvent.

Q42. Le miroir réémet un front à $t=0$ depuis $x=0$ ; à $t=T^{\prime }$, ce front s'est propagé vers $S_2$ jusqu'en $x=-c_0{T}^{\prime }$ tandis que le miroir, en $x=v{T}^{\prime }$, émet le front suivant. La distance entre deux fronts consécutifs de l'onde réfléchie est la longueur d'onde

$$\boxed{{\lambda }^{\prime \prime }=(c_0+v)T^{\prime },T^{\prime \prime }=\frac{{\lambda }^{\prime \prime }}{c_0}=T^{\prime }\left(1+\frac{v}{c_0}\right).}$$

(Source qui s'éloigne de l'observateur : la longueur d'onde reçue est allongée.)

Q43. En combinant Q41 et Q42 :

$$T^{\prime \prime }=T\frac{1+v/c_0}{1-v/c_0}⟹f^{\prime \prime }=\frac{1}{T^{\prime \prime }}=f_l\frac{1-v/c_0}{1+v/c_0}\simeq f_l\left(1-\frac{2v}{c_0}\right)$$

au premier ordre en $v/c_0\ll 1$ (hypothèse non relativiste, cohérente avec l'usage des lois de composition galiléennes). D'où

$$\boxed{f_D=f^{\prime \prime }-f_l=-2f_l\frac{v}{c_0}=-\frac{2v}{{\lambda }_l}.}$$

Le facteur 2 vient de la double action du miroir, récepteur mobile (Q41) puis émetteur mobile (Q42). Vérification : d'après Q33, la phase de la sonde contient $-4\pi z(t)/{\lambda }_l$ ; sa fréquence instantanée est donc $f_l-\frac{1}{2\pi }\frac{4\pi }{{\lambda }_l}\dot{z}=f_l-2v/{\lambda }_l$, le même résultat.

Q44.

$$f_l=\frac{c_0}{{\lambda }_l}=\frac{3,0\times 10^8}{315\times 10^{-9}}\simeq 9,5\times 10^{14}\mathrm{Hz}.$$

La vitesse de la plaque est $v=\dot{z}=a_z\omega \cos \omega t$, d'amplitude $v_{\max }=2\pi f{a}_z=2\pi \times 10^3\times 10^{-4}\simeq 0,63\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Le décalage Doppler $f_D(t)=-\frac{2a_z\omega }{{\lambda }_l}\cos \omega t$ oscille donc à $1\mathrm{kHz}$ entre $\pm f_{D,\max }$ avec

$$f_{D,\max }=\frac{2v_{\max }}{{\lambda }_l}=\frac{2\times 0,63}{315\times 10^{-9}}\simeq 4,0\times 10^6\mathrm{Hz}=4\mathrm{MHz},$$

soit une variation relative $f_{D,\max }/f_l=2v_{\max }/c_0\simeq 4\times 10^{-9}$ : indétectable par une mesure directe de la fréquence de la lumière, d'où la méthode interférentielle qui suit. C'est aussi la fréquence maximale du défilement des franges trouvée en Q39.

Q45. Les deux faisceaux ont parcouru le même chemin $6d$ ($D=d$, $ϵ=0$), soit le retard $\tau =6d/c_0$. La référence garde la fréquence $f_l$ ; la sonde, réfléchie par la plaque, arrive avec la fréquence $f_l+f_D$. On écrit donc, $f_D$ étant quasi constant à l'échelle des temps considérés ($\ll 1\mathrm{ms}$) :

$${\varphi }_1=2\pi f_l(t-\tau ),{\varphi }_2=2\pi (f_l+f_D)(t-\tau ),\tau =\frac{6d}{c_0}.$$

Intensité instantanée (en choisissant l'unité telle que $I=s^2$), linéarisée comme en Q35 :

$$\begin{array}{rl}I(t)=(s_1+s_2{)}^2& =\frac{a_1^2+a_2^2}{2}+\frac{a_1^2}{2}\cos 2{\varphi }_1+\frac{a_2^2}{2}\cos 2{\varphi }_2\\ & +a_1{a}_2\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+a_1{a}_2\cos ({\varphi }_2-{\varphi }_1),\end{array}$$

avec ${\varphi }_2-{\varphi }_1=2\pi f_D(t-\tau )$. Elle contient un terme constant, trois termes à des fréquences voisines de $2f_l\simeq 1,9\times 10^{15}\mathrm{Hz}$ et un terme de battement à la fréquence $\left|f_D\right|\le 4\mathrm{MHz}$.