Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 1 : Vrai/Faux : exponentielle, équation différentielle, suites encadrées

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = 5 x e^{- x}$ .

On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Affirmation 1 : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ .

Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $R$ de l'équation différentielle $(E) : y^{'} + y = 5 e^{- x}$ .

2. On considère les suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ , telles que, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n} .$

De plus, la suite $(u_{n})$ converge vers $- 1$ et la suite $(w_{n})$ converge vers $1$ .

Affirmation 3 : La suite $(v_{n})$ converge vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[- 1; 1]$ .

On suppose de plus que la suite $(u_{n})$ est croissante et que la suite $(w_{n})$ est décroissante.

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$ , on a alors : $u_{0} ⩽ v_{n} ⩽ w_{0}$ .

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

L'axe des abscisses a pour équation $y = 0$ . D'après le cours, la droite d'équation $y = 0$ est une asymptote horizontale à $C_{f}$ dès que $f (x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ . Étudions la limite de $f$ en $+ \infty$ . Pour tout réel $x$ , comme $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ :

$f (x) = 5 x e^{- x} = \frac{5 x}{e ^{x}} = 5 \times \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x}} (x \neq = 0) .$

D'après le théorème de croissances comparées, $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ ; par passage à l'inverse, $x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ , puis par produit par $5$ :

$x \to + \infty lim f (x) = 0.$

La courbe $C_{f}$ admet donc en $+ \infty$ une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ , c'est-à-dire l'axe des abscisses. L'affirmation 1 est vraie.

Remarque. En $- \infty$ , la situation est différente : $x \to - \infty lim 5 x = - \infty$ et $x \to - \infty lim e^{- x} = + \infty$ (car $- x \to + \infty$ ), donc par produit $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ ; la courbe n'a pas d'asymptote en $- \infty$ . Cela ne contredit pas l'affirmation : une droite est asymptote à la courbe dès qu'elle l'est d'un côté.

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée « $\infty \times 0$ » en $+ \infty$ ( $5 x \to + \infty$ et $e^{- x} \to 0$ ) doit être levée par le théorème de croissances comparées, nommé ; écrire simplement « $e^{- x}$ tend vers $0$ donc $f (x)$ tend vers $0$ » n'est pas une justification.

Affirmation 2 : VRAIE.

La fonction $f$ est dérivable sur $R$ comme produit de la fonction $x \mapsto 5 x$ , dérivable sur $R$ , et de la fonction $x \mapsto e^{- x}$ , dérivable sur $R$ (de la forme $e^{u}$ avec $u (x) = - x$ , de dérivée $u^{'} (x) e^{u (x)} = - e^{- x}$ ). Posons $u (x) = 5 x$ et $v (x) = e^{- x}$ : alors $u^{'} (x) = 5$ et $v^{'} (x) = - e^{- x}$ . D'après la formule de dérivation d'un produit, $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , pour tout réel $x$ :

$f^{'} (x) = 5 e^{- x} + 5 x \times (- e^{- x}) = 5 e^{- x} - 5 x e^{- x} = 5 (1 - x) e^{- x} .$

Calculons alors $f^{'} (x) + f (x)$ pour tout réel $x$ :

$f^{'} (x) + f (x) = (5 e^{- x} - 5 x e^{- x}) + 5 x e^{- x} = 5 e^{- x} .$

Ainsi $f^{'} + f = 5 e^{- x}$ sur $R$ : la fonction $f$ est bien solution de $(E)$ sur $R$ . L'affirmation 2 est vraie.

Remarque. L'équation $(E)$ s'écrit $y^{'} = - y + 5 e^{- x}$ : c'est une équation de la forme $y^{'} = a y + φ$ avec $a = - 1$ . D'après le cours, ses solutions sont les fonctions $x \mapsto C e^{- x} + f (x)$ avec $C \in R$ , puisque $f$ en est une solution particulière et que les solutions de l'équation homogène $y^{'} = - y$ sont les $x \mapsto C e^{- x}$ .

2. Affirmation 3 : FAUSSE.

Les hypothèses ne suffisent pas à garantir la convergence de $(v_{n})$ : le théorème des gendarmes exige que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite, ce qui n'est pas le cas ici ( $- 1 \neq = 1$ ). Donnons un contre-exemple explicite. Posons, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} = - 1, v_{n} = (- 1)^{n}, w_{n} = 1.$

Pour tout $n$ , $(- 1)^{n}$ vaut $1$ (si $n$ est pair) ou $- 1$ (si $n$ est impair) ; dans les deux cas, $- 1 ⩽ (- 1)^{n} ⩽ 1$ , c'est-à-dire $u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n}$ ;
la suite $(u_{n})$ est constante égale à $- 1$ , donc converge vers $- 1$ ; la suite $(w_{n})$ est constante égale à $1$ , donc converge vers $1$ .

Toutes les hypothèses de l'énoncé sont donc satisfaites. Or la suite $(v_{n}) = ((- 1)^{n})$ ne converge pas : ses termes valent alternativement $1$ et $- 1$ , de sorte qu'aucun intervalle ouvert de longueur inférieure à $2$ (par exemple $] l - 0, 5; l + 0, 5 [$ , quel que soit le réel $l$ ) ne peut contenir tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : la suite $(v_{n})$ n'a pas de limite. L'affirmation 3 est fausse.

Ce que le correcteur attend : un contre-exemple explicite, dont on vérifie chacune des hypothèses (encadrement, limites de $(u_{n})$ et de $(w_{n})$ ), et non la seule phrase « le théorème des gendarmes ne s'applique pas ». Notons que si la suite $(v_{n})$ convergeait vers un réel $l$ , alors on aurait bien $- 1 ⩽ l ⩽ 1$ par passage à la limite dans les inégalités ; ce qui est faux dans l'affirmation, c'est l'existence de cette limite.

Affirmation 4 : VRAIE.

Montrons d'abord que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{0} ⩽ u_{n}$ . Soit $P (n)$ la propriété « $u_{0} ⩽ u_{n}$ ».

Initialisation : $u_{0} ⩽ u_{0}$ , donc $P (0)$ est vraie.
Hérédité : soit $k$ un entier naturel tel que $P (k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_{0} ⩽ u_{k}$ . La suite $(u_{n})$ étant croissante, $u_{k} ⩽ u_{k + 1}$ . Donc $u_{0} ⩽ u_{k} ⩽ u_{k + 1}$ , et $P (k + 1)$ est vraie.
Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire ; par récurrence, $u_{0} ⩽ u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .

De la même façon, la suite $(w_{n})$ étant décroissante, on a $w_{k + 1} ⩽ w_{k}$ pour tout $k$ , et la même récurrence (avec la propriété « $w_{n} ⩽ w_{0}$ ») donne $w_{n} ⩽ w_{0}$ pour tout entier naturel $n$ .

En combinant avec l'encadrement de l'énoncé, on obtient pour tout entier naturel $n$ :

$u_{0} ⩽ u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n} ⩽ w_{0},$

et en particulier $u_{0} ⩽ v_{n} ⩽ w_{0}$ . L'affirmation 4 est vraie.

Remarque. Les hypothèses de convergence ne servent pas ici : l'affirmation ne repose que sur la monotonie de $(u_{n})$ et de $(w_{n})$ . On peut en revanche en tirer un complément : une suite croissante convergeant vers $- 1$ a tous ses termes inférieurs ou égaux à $- 1$ (si l'un d'eux dépassait $- 1$ , tous les suivants le dépasseraient aussi et la limite serait au moins égale à ce terme), et de même $w_{n} ⩾ 1$ pour tout $n$ ; la suite $(v_{n})$ est donc bien bornée, sans pour autant converger (affirmation 3).

Ce que le correcteur attend : la chaîne d'inégalités complète $u_{0} ⩽ u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n} ⩽ w_{0}$ , chaque maillon justifié (croissance de $(u_{n})$ , hypothèse de l'énoncé, décroissance de $(w_{n})$ ).

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