Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 1 : Vrai/Faux : exponentielle, équation différentielle, suites encadrées

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = 5 x e^{- x}$ .

On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Affirmation 1 : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ .

Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $R$ de l'équation différentielle $(E) : y^{'} + y = 5 e^{- x}$ .

2. On considère les suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ , telles que, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n} .$

De plus, la suite $(u_{n})$ converge vers $- 1$ et la suite $(w_{n})$ converge vers $1$ .

Affirmation 3 : La suite $(v_{n})$ converge vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[- 1; 1]$ .

On suppose de plus que la suite $(u_{n})$ est croissante et que la suite $(w_{n})$ est décroissante.

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$ , on a alors : $u_{0} ⩽ v_{n} ⩽ w_{0}$ .

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

L'axe des abscisses a pour équation $y = 0$ . D'après le cours, la droite d'équation $y = 0$ est une asymptote horizontale à $C_{f}$ dès que $f (x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ . Étudions la limite de $f$ en $+ \infty$ . Pour tout réel $x$ , comme $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ :

$f (x) = 5 x e^{- x} = \frac{5 x}{e ^{x}} = 5 \times \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x}} (x \neq = 0) .$

D'après le théorème de croissances comparées, $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ ; par passage à l'inverse, $x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ , puis par produit par $5$ :

$x \to + \infty lim f (x) = 0.$

La courbe $C_{f}$ admet donc en $+ \infty$ une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ , c'est-à-dire l'axe des abscisses. L'affirmation 1 est vraie.

Remarque. En $- \infty$ , la situation est différente : $x \to - \infty lim 5 x = - \infty$ et $x \to - \infty lim e^{- x} = + \infty$ (car $- x \to + \infty$ ), donc par produit $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ ; la courbe n'a pas d'asymptote en $- \infty$ . Cela ne contredit pas l'affirmation : une droite est asymptote à la courbe dès qu'elle l'est d'un côté.

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée « $\infty \times 0$ » en $+ \infty$ ( $5 x \to + \infty$ et $e^{- x} \to 0$ ) doit être levée par le théorème de croissances comparées, nommé ; écrire simplement « $e^{- x}$ tend vers $0$ donc $f (x)$ tend vers $0$ » n'est pas une justification.

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