Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Satisfaction des clients : probabilités et loi binomiale

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent 60 % des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30 % des ventes et ceux en grandes surfaces 10 % des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

75 % pour les clients sur internet ;
90 % pour les clients en magasin d'électroménager ;
80 % pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

$I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
$M$ : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager » ;
$G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
$S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $A$ son événement contraire et $P (A)$ sa probabilité.

1. Reproduire et compléter l'arbre ci-dessus.

2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.

3. Démontrer que $P (S) = 0, 8$ .

4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $1 0^{- 3}$ près.

5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.

5.a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5.b. Déterminer la probabilité, arrondie à $1 0^{- 3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.

6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0, 99$ .

7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.

Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ .

La variable aléatoire $T_{1}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_{2}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.

On admet que les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, et on donne :

l'espérance $E (T_{1}) = 4$ et la variance $V (T_{1}) = 2$ ;
l'espérance $E (T_{2}) = 3$ et la variance $V (T_{2}) = 1$ .

7.a. Déterminer l'espérance $E (T)$ et la variance $V (T)$ de la variable aléatoire $T$ .

7.b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\frac{2}{3}$ .

Corrigé

1. Le client est choisi au hasard : les pourcentages de l'énoncé sont des probabilités. Les parts de marché donnent les probabilités des trois lieux d'achat, qui forment une partition de l'univers (un achat est réalisé sur un seul des trois canaux) :

$P (I) = 0, 6, P (M) = 0, 3, P (G) = 0, 1 (on v e ˊ rifie que 0, 6 + 0, 3 + 0, 1 = 1) .$

Les taux de satisfaction sont des probabilités conditionnelles, « sachant le lieu d'achat » : $P_{I} (S) = 0, 75$ , $P_{M} (S) = 0, 9$ et $P_{G} (S) = 0, 8$ . La somme des probabilités des deux branches issues d'un même nœud vaut $1$ , d'où $P_{I} (S) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ , $P_{M} (S) = 1 - 0, 9 = 0, 1$ et $P_{G} (S) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ .

2. L'événement « le client a réalisé son achat sur internet et est satisfait du service clientèle » est $I \cap S$ . La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches :

$P (I \cap S) = P (I) \times P_{I} (S) = 0, 6 \times 0, 75 = 0, 45.$

3. Les événements $I$ , $M$ et $G$ forment une partition de l'univers : ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers tout entier. D'après la formule des probabilités totales :

$P (S) = P (I \cap S) + P (M \cap S) + P (G \cap S) = P (I) P_{I} (S) + P (M) P_{M} (S) + P (G) P_{G} (S) .$

Numériquement :

$P (S) = 0, 6 \times 0, 75 + 0, 3 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 8 = 0, 45 + 0, 27 + 0, 08 = 0, 80.$

On a bien $P (S) = 0, 8$ .

Ce que le correcteur attend : la formule des probabilités totales écrite avec ses trois termes (et la mention de la partition), avant le calcul numérique.

4. On sait que le client est satisfait : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{S} (I)$ . Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P (S) = 0, 8 \neq = 0$ ) :

$P_{S} (I) = \frac{P ( I \cap S )}{P ( S )} = \frac{0 , 45}{0 , 8} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16} = 0, 5625.$

Sachant que le client est satisfait, la probabilité qu'il ait acheté sur internet est $\frac{9}{16} = 0, 5625$ , soit environ $0, 563$ à $1 0^{- 3}$ près (la valeur exacte étant à égale distance de $0, 562$ et de $0, 563$ , ces deux arrondis sont à $1 0^{- 3}$ près).

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre $P_{S} (I)$ , demandé ici, avec $P_{I} (S) = 0, 75$ lu sur l'arbre ; l'arbre donne les probabilités conditionnelles « sachant le lieu d'achat », et la question renverse le conditionnement.

5.a. On répète $30$ fois l'épreuve « contacter un client et noter s'il est satisfait ». Chaque contact est une épreuve de Bernoulli, dont le succès est « le client est satisfait », de probabilité $p = P (S) = 0, 8$ d'après la question 3. Le choix des $30$ clients est assimilé à un tirage avec remise : les $30$ épreuves sont identiques et indépendantes. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 30$ et $p = 0, 8$ , et la variable aléatoire $X$ , qui compte le nombre de succès, suit la loi binomiale

$X \sim B (30; 0, 8) .$

Ce que le correcteur attend : les trois ingrédients : deux issues (succès/échec), répétition à l'identique, indépendance (justifiée par le tirage avec remise), puis les deux paramètres.

5.b. On cherche $P (X ⩾ 25)$ . En passant par l'événement contraire :

$P (X ⩾ 25) = 1 - P (X ⩽ 24) .$

La calculatrice donne, pour la loi $B (30; 0, 8)$ , $P (X ⩽ 24) \approx 0, 5725$ , d'où

$P (X ⩾ 25) \approx 1 - 0, 5725 = 0, 4275 \approx 0, 428.$

On peut aussi sommer les six termes $P (X = k) = (k 30) 0, 8^{k} 0, 2^{30 - k}$ pour $k$ allant de $25$ à $30$ : environ $0, 1723 + 0, 1325 + 0, 0785 + 0, 0337 + 0, 0093 + 0, 0012 \approx 0, 4275$ . La probabilité qu'au moins $25$ clients sur $30$ soient satisfaits est d'environ $0, 428$ .

6. Soit $n$ un entier naturel non nul, taille de l'échantillon contacté. Par le même raisonnement qu'en 5.a, la variable aléatoire $Y_{n}$ qui compte le nombre de clients satisfaits parmi les $n$ contactés suit la loi binomiale $B (n; 0, 8)$ . L'événement « au moins l'un des clients n'est pas satisfait » est le contraire de « tous les clients sont satisfaits », c'est-à-dire de ${Y_{n} = n}$ . Or

$P (Y_{n} = n) = (n n) 0, 8^{n} 0, 2^{0} = 0, 8^{n},$

donc la probabilité cherchée vaut $1 - 0, 8^{n}$ . On veut résoudre l'inéquation

$1 - 0, 8^{n} > 0, 99 ⟺ 0, 8^{n} < 0, 01.$

La fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , cette inéquation équivaut à $ln (0, 8^{n}) < ln (0, 01)$ , soit $n ln (0, 8) < ln (0, 01)$ . Comme $0 < 0, 8 < 1$ , on a $ln (0, 8) < 0$ : en divisant par ce nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change :

$n > \frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 8 )} \approx \frac{- 4 , 605}{- 0 , 2231} \approx 20, 64.$

Le plus petit entier naturel vérifiant cette condition est $n = 21$ . On vérifie : $0, 8^{20} \approx 0, 0115 > 0, 01$ tandis que $0, 8^{21} \approx 0, 0092 < 0, 01$ . Il faut donc contacter au minimum $21$ clients.

Ce que le correcteur attend : le passage par l'événement contraire, la résolution avec $ln$ et le changement de sens de l'inégalité lors de la division par $ln (0, 8) < 0$ ; une réponse obtenue par tâtonnement à la calculatrice ne répond pas à la consigne « en résolvant une inéquation ».

7.a. Par linéarité de l'espérance (valable sans hypothèse d'indépendance) :

$E (T) = E (T_{1} + T_{2}) = E (T_{1}) + E (T_{2}) = 4 + 3 = 7.$

Les variables $T_{1}$ et $T_{2}$ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

$V (T) = V (T_{1} + T_{2}) = V (T_{1}) + V (T_{2}) = 2 + 1 = 3.$

Le temps de livraison a pour espérance $7$ jours et pour variance $3$ .

7.b. Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $T$ , d'espérance $E (T) = 7$ et de variance $V (T) = 3$ : pour tout réel $ε > 0$ ,

$P (∣ T - 7∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{V ( T )}{ε ^{2}} .$

Avec $ε = 3$ :

$P (∣ T - 7∣ ⩾ 3) ⩽ \frac{3}{3 ^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},$

d'où, en passant à l'événement contraire :

$P (∣ T - 7∣ < 3) = 1 - P (∣ T - 7∣ ⩾ 3) ⩾ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .$

Or $∣ T - 7∣ < 3 ⟺ - 3 < T - 7 < 3 ⟺ 4 < T < 10$ . Les variables $T_{1}$ et $T_{2}$ prennent des valeurs entières (des nombres entiers de jours), donc $T = T_{1} + T_{2}$ est aussi à valeurs entières : pour un entier $T$ , la condition $4 < T < 10$ équivaut à $5 ⩽ T ⩽ 9$ . Ainsi

$P (5 ⩽ T ⩽ 9) = P (4 < T < 10) = P (∣ T - 7∣ < 3) ⩾ \frac{2}{3} .$

La probabilité que le client reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est bien supérieure ou égale à $\frac{2}{3}$ .

Ce que le correcteur attend : le choix $ε = 3$ (l'intervalle $[5; 9]$ est centré sur l'espérance $7$ ), le passage à l'événement contraire, et surtout l'argument « $T$ est à valeurs entières » qui permet de remplacer l'intervalle ouvert $] 4; 10 [$ par l'intervalle fermé $[5; 9]$ : sans lui, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne donne qu'une minoration de $P (4 < T < 10)$ , événement a priori plus large que celui demandé.

Poser une question au tuteur sur ce sujet