Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace

1.a. Calculons les coordonnées de deux vecteurs du plan $(CAD)$ :

$$\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}5-0\\ 5-0\\ 0-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -10\end{array}\right)\text{et}\overrightarrow{CD}=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -\frac{5}{2}-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -\frac{25}{2}\end{array}\right).$$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\overrightarrow{CD}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{CA}$ vaut $5\ne 0$, donc aucun réel $k$ ne vérifie $\overrightarrow{CA}=k\overrightarrow{CD}$. Les points $C$, $A$ et $D$ ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan. Le repère étant orthonormé, calculons les produits scalaires :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{CA}& =1\times 5+(-1)\times 5+0\times (-10)=5-5+0=0,\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{CD}& =1\times 0+(-1)\times 0+0\times \left(-\frac{25}{2}\right)=0.\end{array}$$

Le vecteur $\overrightarrow{n_1}$, non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$ : c'est un vecteur normal au plan $(CAD)$.

Ce que le correcteur attend : les deux produits scalaires calculés et la non-colinéarité des deux vecteurs : un vecteur orthogonal à deux vecteurs colinéaires n'a aucune raison d'être normal au plan.

1.b. D'après le cours, un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$. Avec $\overrightarrow{n_1}(1;-1;0)$, le plan $(CAD)$ a une équation de la forme

$$x-y+d=0.$$

Le point $C(0;0;10)$ appartient à ce plan, donc $0-0+d=0$, soit $d=0$. Le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne $x-y=0$. On vérifie avec les deux autres points : $A(5;5;0)$ : $5-5=0$ ; $D\left(0;0;-\frac{5}{2}\right)$ : $0-0=0$. Les trois points vérifient bien l'équation.

2.a. Un point de $\mathcal{D}$ a pour coordonnées $\left(\frac{5}{2}t;5-\frac{5}{2}t;0\right)$ pour un certain réel $t$. Il appartient au plan $(CAD)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient $x-y=0$ :

$$\frac{5}{2}t-\left(5-\frac{5}{2}t\right)=0⟺\frac{5}{2}t-5+\frac{5}{2}t=0⟺5t=5⟺t=1.$$

Cette équation a une unique solution, ce qui confirme que $\mathcal{D}$ et $(CAD)$ sont sécants en un seul point $H$, obtenu pour $t=1$ :

$$H\left(\frac{5}{2}\times 1;5-\frac{5}{2}\times 1;0\right)=H\left(\frac{5}{2};\frac{5}{2};0\right).$$

2.b. D'après le cours, le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$ est le point d'intersection de ce plan avec la droite passant par $B$ et orthogonale à $(CAD)$. Il suffit donc de vérifier deux choses : que $H$ appartient à $(CAD)$, et que la droite $(BH)$ est orthogonale à $(CAD)$.