Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 4 : Fonction avec logarithme : étude, fonction auxiliaire et calcul d'aire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie A : étude de la fonction $f$ .

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x - 2 + \frac{1}{2} ln x,$

où $ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0; + \infty [$ , on note $f^{'}$ sa dérivée et $f^{''}$ sa dérivée seconde.

1.a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$ .

1.b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0; + \infty [$ , on a : $f^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{2 x}$ .

1.c. Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .

1.d. Étudier la convexité de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .

2.a. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet dans $] 0; + \infty [$ une solution unique qu'on notera $α$ et justifier que $α$ appartient à l'intervalle $[1; 2]$ .

2.b. Déterminer le signe de $f (x)$ pour $x \in] 0; + \infty [$ .

2.c. Montrer que $ln (α) = 2 (2 - α)$ .

Partie B : étude de la fonction $g$ .

La fonction $g$ est définie sur $] 0; 1]$ par

$g (x) = - \frac{7}{8} x^{2} + x - \frac{1}{4} x^{2} ln x .$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0; 1]$ et on note $g^{'}$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $g^{'} (x)$ pour $x \in] 0; 1]$ puis vérifier que $g^{'} (x) = x f (\frac{1}{x})$ .

2.a. Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $] 0; \frac{1}{α} [$ , on a $f (\frac{1}{x}) > 0$ .

2.b. On admet le tableau de signes suivant :

$x$	$0$		$\frac{1}{α}$		$1$
Signe de $f (\frac{1}{x})$		$+$	$0$	$-$

En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $] 0; 1]$ . Les images et les limites ne sont pas demandées.

Partie C : un calcul d'aire.

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

la courbe $C_{g}$ de la fonction $g$ ;
la parabole $P$ d'équation $y = - \frac{7}{8} x^{2} + x$ sur l'intervalle $] 0; 1]$ .

On souhaite calculer l'aire $A$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_{g}$ et $P$ , et les droites d'équations $x = \frac{1}{α}$ et $x = 1$ .

On rappelle que $ln (α) = 2 (2 - α)$ .

1.a. Justifier la position relative des courbes $C_{g}$ et $P$ sur l'intervalle $] 0; 1]$ .

1.b. Démontrer l'égalité :

$\int_{\frac{1}{α}}^{1} x^{2} ln x d x = \frac{- α ^{3} - 6 α + 13}{9 α ^{3}} .$

2. En déduire l'expression en fonction de $α$ de l'aire $A$ .

Corrigé

Partie A : étude de la fonction $f$ .

1.a. Limite en $0$ . Lorsque $x \to 0$ (par valeurs supérieures, puisque $f$ est définie sur $] 0; + \infty [$ ) : $x \to 0 lim (x - 2) = - 2$ et, d'après les limites de référence du cours, $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ , donc $x \to 0^{+} lim \frac{1}{2} ln x = - \infty$ . Par somme :

$x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty.$

La courbe de $f$ admet donc l'axe des ordonnées pour asymptote verticale.

Limite en $+ \infty$ . $x \to + \infty lim (x - 2) = + \infty$ et $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ , donc $x \to + \infty lim \frac{1}{2} ln x = + \infty$ . Par somme (il n'y a pas de forme indéterminée) :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty.$

1.b. La fonction $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ comme somme de la fonction affine $x \mapsto x - 2$ et de $\frac{1}{2} ln$ . La dérivée de $x \mapsto x - 2$ est $1$ et celle de $ln$ est $x \mapsto \frac{1}{x}$ , donc pour tout $x > 0$ :

$f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 x} = \frac{2 x}{2 x} + \frac{1}{2 x} = \frac{2 x + 1}{2 x} .$

1.c. Pour tout $x \in] 0; + \infty [$ , on a $2 x > 0$ et $2 x + 1 > 1 > 0$ : le quotient $f^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{2 x}$ est strictement positif. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Avec les limites de la question 1.a :

$x$	$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$+ \infty$

1.d. La fonction $f^{'}$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{x}$ et la dérivée de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $x \mapsto - \frac{1}{x ^{2}}$ , donc pour tout $x > 0$ :

$f^{''} (x) = \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{1}{2 x ^{2}} .$

Comme $x^{2} > 0$ , on a $f^{''} (x) < 0$ pour tout $x \in] 0; + \infty [$ . D'après la caractérisation de la convexité pour une fonction deux fois dérivable, la fonction $f$ est concave sur $] 0; + \infty [$ (sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes). La dérivée seconde ne s'annulant jamais, la courbe n'a pas de point d'inflexion.

2.a. Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ :

$f$ est continue (elle est dérivable) ;
$f$ est strictement croissante (question 1.c) ;
$x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty$ et $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ (question 1.a), et $0$ est compris entre ces deux limites.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), étendu à l'intervalle ouvert $] 0; + \infty [$ en remplaçant les valeurs aux bornes par les limites, l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $] 0; + \infty [$ .

Localisons $α$ :

$f (1) = 1 - 2 + \frac{1}{2} ln 1 = - 1 + 0 = - 1 < 0 et f (2) = 2 - 2 + \frac{1}{2} ln 2 = \frac{ln 2}{2} \approx 0, 35 > 0.$

Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[1; 2]$ avec $f (1) < 0 < f (2)$ , la solution $α$ appartient à $[1; 2]$ (et même à $] 1; 2 [$ , puisque $f (1)$ et $f (2)$ sont non nuls). À la calculatrice, $f (1, 72) \approx - 0, 009 < 0$ et $f (1, 73) \approx 0, 004 > 0$ , donc $1, 72 < α < 1, 73$ : $α \approx 1, 73$ .

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, encadrement de $0$ par les limites) et le nom du théorème ; l'existence vient du théorème des valeurs intermédiaires, l'unicité de la stricte croissance.

2.b. La fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ et s'annule en $α$ . Donc :

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Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 1 — Exercice 4 : Fonction avec logarithme : étude, fonction auxiliaire et calcul d'aire

Énoncé

Partie A : étude de la fonction f.

Partie B : étude de la fonction g.

Partie C : un calcul d'aire.

Corrigé

Partie A : étude de la fonction f.

Partie A : étude de la fonction $f$ .

Partie B : étude de la fonction $g$ .

Partie A : étude de la fonction $f$ .