Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 2 — Exercice 1 : Réussite à un examen : probabilités conditionnelles et loi binomiale

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91, 7%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :

$65%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
$98%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

On note $R$ l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et $Q$ l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P (A)$ sa probabilité et $A$ son événement contraire.

Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $1 0^{- 3}$ près.

1. Préciser les valeurs des probabilités $P (Q)$ et $P_{R} (Q)$ .

2. On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

2.a. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

2.b. Montrer que $x = 0, 9$ .

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ?

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$ . On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20; 0, 615)$ . La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65%$ des étudiants soient récompensés ?

5. On interroge au hasard dix étudiants.

Les variables aléatoires $N_{1}, N_{2}, \dots, N_{10}$ modélisent la note sur $20$ obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20; 0, 615)$ .

Soit $S$ la variable définie par $S = N_{1} + N_{2} + \dots + N_{10}$ .

Calculer l'espérance $E (S)$ et la variance $V (S)$ de la variable aléatoire $S$ .

6. On considère la variable aléatoire $M = \frac{S}{10}$ .

6.a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?

6.b. Justifier que $E (M) = 12, 3$ et $V (M) = 0, 47355$ .

6.c. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.

« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10, 3$ et $14, 3$ est d'au moins $80%$ ».

Corrigé

1. L'énoncé indique que $91, 7%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui » : c'est la probabilité de l'événement $Q$ pour un étudiant choisi au hasard, donc

$P (Q) = 0, 917.$

La donnée « $65%$ des étudiants ayant échoué ont répondu non » porte sur la sous-population des étudiants ayant échoué (événement $R$ ) : c'est une probabilité conditionnelle, celle de $Q$ sachant $R$ . Ainsi

$P_{R} (Q) = 0, 65.$

De même, « $98%$ des étudiants ayant réussi ont répondu oui » se traduit par $P_{R} (Q) = 0, 98$ .

2.a. On complète l'arbre à l'aide de la règle « la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$ » : $P (R) = 1 - x$ , $P_{R} (Q) = 1 - 0, 98 = 0, 02$ et $P_{R} (Q) = 1 - 0, 65 = 0, 35$ .

2.b. Les événements $R$ et $R$ forment une partition de l'univers (un étudiant a réussi ou a échoué, jamais les deux). D'après la formule des probabilités totales :

$P (Q) = P (R \cap Q) + P (R \cap Q) = P (R) \times P_{R} (Q) + P (R) \times P_{R} (Q),$

soit, avec les valeurs de l'arbre,

$P (Q) = 0, 98 x + 0, 35 (1 - x) = 0, 98 x + 0, 35 - 0, 35 x = 0, 63 x + 0, 35.$

Or $P (Q) = 0, 917$ d'après la question 1. On résout donc

$0, 63 x + 0, 35 = 0, 917 ⟺ 0, 63 x = 0, 567 ⟺ x = \frac{0 , 567}{0 , 63} = 0, 9.$

On a bien $x = 0, 9$ : $90%$ des étudiants ont réussi l'examen.

Ce que le correcteur attend : la formule des probabilités totales écrite avec la partition ${R, R}$ et l'équation résolue jusqu'au bout ; « montrer que $x = 0, 9$ » n'autorise pas à remplacer $x$ par $0, 9$ dans l'arbre pour vérifier que l'on retrouve $0, 917$ , ce qui serait un raisonnement à l'envers.

3. On sait que l'étudiant a répondu « oui » : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{Q} (R)$ , à ne pas confondre avec $P_{R} (Q) = 0, 98$ lue sur l'arbre. Par définition de la probabilité conditionnelle (on a bien $P (Q) = 0, 917 \neq = 0$ ), et avec la règle du produit le long du chemin $R$ puis $Q$ :

$P_{Q} (R) = \frac{P ( R \cap Q )}{P ( Q )} = \frac{P ( R ) \times P _{R} ( Q )}{P ( Q )} = \frac{0 , 9 \times 0 , 98}{0 , 917} = \frac{0 , 882}{0 , 917} \approx 0, 96183.$

Sachant qu'il a répondu « oui », la probabilité que l'étudiant ait réussi l'examen est $P_{Q} (R) \approx 0, 962$ (arrondie à $1 0^{- 3}$ ).

Ce que le correcteur attend : le renversement du conditionnement. L'arbre donne les probabilités « sachant $R$ » ; la question demande « sachant $Q$ », d'où le passage obligé par $P (R \cap Q)$ et $P (Q)$ .

4. La variable aléatoire $N$ suit la loi binomiale $B (20; 0, 615)$ : pour tout entier $k$ de $0$ à $20$ , $P (N = k) = (k 20) 0, 61 5^{k} 0, 38 5^{20 - k}$ . Récompenser « à partir de la note $k$ », c'est récompenser les étudiants dont la note vérifie $N \geq k$ . La directrice veut récompenser les meilleurs, donc placer le seuil le plus haut possible tout en récompensant au moins $65%$ des étudiants : on cherche le plus grand entier $k$ tel que

$P (N \geq k) \geq 0, 65, c’est- a ˋ -dire P (N \leq k - 1) \leq 0, 35$

puisque $P (N \geq k) = 1 - P (N \leq k - 1)$ . La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne les valeurs cumulées suivantes :

$k$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P (N \leq k)$	$0, 100$	$0, 203$	$0, 351$	$0, 529$
$P (N \geq k)$	$0, 958$	$0, 900$	$0, 797$	$0, 649$

Ainsi

$P (N \geq 11) = 1 - P (N \leq 10) \approx 1 - 0, 203 = 0, 797 \geq 0, 65$

$P (N \geq 12) = 1 - P (N \leq 11) \approx 1 - 0, 351 = 0, 649 < 0, 65.$

La suite $(P (N \geq k))$ est décroissante en $k$ (plus le seuil est élevé, moins d'étudiants le dépassent), donc le plus grand seuil qui garantit au moins $65%$ de récompensés est $k = 11$ .

Conclusion : la directrice doit attribuer les récompenses à partir de la note $11$ ; environ $79, 7%$ des étudiants seront alors récompensés. Avec un seuil à $12$ , seuls $64, 9%$ d'entre eux le seraient, ce qui est (de peu) inférieur aux $65%$ demandés.

Remarque. Aucun seuil entier ne donne exactement $65%$ de récompensés : la question est donc ambiguë. Si on la lit « pour qu'environ $65%$ des étudiants soient récompensés », le seuil dont le taux est le plus proche de $65%$ est $12$ (avec $P (N \geq 12) \approx 0, 649$ ), et c'est la réponse retenue par une partie des corrigés publiés ; d'autres, lisant « au moins $65%$ », retiennent $11$ comme ci-dessus. Le correcteur accepte l'une ou l'autre réponse dès lors que les deux probabilités $P (N \geq 11) \approx 0, 797$ et $P (N \geq 12) \approx 0, 649$ figurent sur la copie et que le critère de choix est énoncé.

Ce que le correcteur attend : la traduction « à partir de la note $k$ » $\Rightarrow$ $P (N \geq k)$ , puis le passage par $P (N \leq k - 1)$ que fournit la calculatrice ; l'encadrement par les deux valeurs $k = 11$ et $k = 12$ justifie le choix du seuil.

5. Chaque variable $N_{i}$ suit la loi $B (20; 0, 615)$ . D'après les indicateurs de la loi binomiale :

$E (N_{i}) = n p = 20 \times 0, 615 = 12, 3 et V (N_{i}) = n p (1 - p) = 20 \times 0, 615 \times 0, 385 = 4, 7355.$

Par linéarité de l'espérance (valable sans hypothèse d'indépendance) :

$E (S) = E (N_{1}) + E (N_{2}) + \dots + E (N_{10}) = 10 \times 12, 3 = 123.$

Les variables $N_{1}, \dots, N_{10}$ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

$V (S) = V (N_{1}) + V (N_{2}) + \dots + V (N_{10}) = 10 \times 4, 7355 = 47, 355.$

Ainsi $E (S) = 123$ et $V (S) = 47, 355$ .

Ce que le correcteur attend : l'hypothèse d'indépendance doit être citée pour la variance (elle ne sert pas pour l'espérance).

6.a. La variable $S$ est la somme des notes des dix étudiants interrogés ; en la divisant par leur nombre, $M = \frac{S}{10}$ modélise la moyenne des notes obtenues à l'examen par les dix étudiants interrogés au hasard. C'est la moyenne $M_{10}$ d'un échantillon de taille $10$ de la loi $B (20; 0, 615)$ .

6.b. Pour tout réel $a$ , $E (a X) = a E (X)$ et $V (a X) = a^{2} V (X)$ . Avec $a = \frac{1}{10}$ :

$E (M) = E (\frac{S}{10}) = \frac{1}{10} E (S) = \frac{123}{10} = 12, 3$

$V (M) = V (\frac{S}{10}) = \frac{1}{1 0 ^{2}} V (S) = \frac{47 , 355}{100} = 0, 47355.$

On retrouve les formules de la moyenne d'un échantillon : $E (M_{n}) = μ$ et $V (M_{n}) = \frac{V}{n}$ avec $μ = 12, 3$ , $V = 4, 7355$ et $n = 10$ .

6.c. La variable $M$ admet une espérance $E (M) = 12, 3$ et une variance $V (M) = 0, 47355$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $ε > 0$ :

$P (∣ M - E (M) ∣ \geq ε) \leq \frac{V ( M )}{ε ^{2}} .$

L'affirmation porte sur l'événement « $10, 3 < M < 14, 3$ ». Or $10, 3 = 12, 3 - 2$ et $14, 3 = 12, 3 + 2$ , donc

$10, 3 < M < 14, 3 ⟺ - 2 < M - 12, 3 < 2 ⟺ ∣ M - 12, 3∣ < 2.$

Appliquons l'inégalité avec $ε = 2$ :

$P (∣ M - 12, 3∣ \geq 2) \leq \frac{0 , 47355}{2 ^{2}} = \frac{0 , 47355}{4} = 0, 1183875.$

L'événement « $∣ M - 12, 3∣ < 2$ » est le contraire de « $∣ M - 12, 3∣ \geq 2$ », donc

$P (10, 3 < M < 14, 3) = 1 - P (∣ M - 12, 3∣ \geq 2) \geq 1 - 0, 1183875 = 0, 8816125 \geq 0, 8.$

La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10, 3$ et $14, 3$ est donc supérieure ou égale à $0, 88$ , et a fortiori d'au moins $80%$ : l'affirmation est justifiée.

Ce que le correcteur attend : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de s'écarter de la moyenne (les « queues »), alors que l'affirmation minore la probabilité d'en rester proche : le passage à l'événement contraire est l'étape clé. Il faut aussi identifier $ε = 2$ à partir des bornes $10, 3$ et $14, 3$ , symétriques autour de $12, 3$ , et noter que l'inégalité stricte « $< 2$ » correspond bien au contraire de « $\geq 2$ ».

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