Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 2 — Exercice 2 : Piscine : suite et modèle continu

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m $^{3}$ d'eau. On rappelle que $1$ m $^{3} = 1000$ L. Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ .

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0, 01$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0, 70$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ .

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.

1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0, 3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ .

2. Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_{n}$ le taux de chlore, en mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0} = 0, 7$ .

On admet que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 0, 92 v_{n} + 0, 3$ .

2.a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} \leq v_{n + 1} \leq 4$ .

2.b. Montrer que la suite $(v_{n})$ est convergente et calculer sa limite.

3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.

4. Reproduire et compléter l'algorithme ci-dessous écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} > s$ .


def alerte_chlore(s) :
    n=0
    v=0.7
    while ... :
        n= ...
        v= ...
    return n

5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B : étude d'un modèle continu

Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f (x)$ représente le taux de chlore, en mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E) : y^{'} = - 0, 08 y + \frac{q}{50}$ , où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f (x) = C e^{- 0, 08 x} + \frac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.

2.a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+ \infty$ .

2.b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0, 7$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.

Corrigé

Partie A : étude d'un modèle discret

1. Le taux de chlore est une masse de chlore par unité de volume d'eau, en milligrammes par litre. Convertissons les données dans ces unités : la piscine contient $50$ m $^{3} = 50 \times 1000$ L $= 50000$ L d'eau, et l'on ajoute $15$ g $= 15000$ mg de chlore. Comme ce chlore se mélange uniformément, l'augmentation du taux vaut

$\frac{15 000}{50 000} = \frac{15}{50} = 0, 3 mg \cdot L^{- 1} .$

Chaque ajout quotidien de $15$ g fait donc augmenter le taux de $0, 3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . (Le facteur $0, 92$ de la relation de récurrence traduit, lui, la disparition de $8%$ du chlore chaque jour sous l'action du milieu ambiant.)

2.a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété $P (n)$ : « $v_{n} \leq v_{n + 1} \leq 4$ » est vraie.

Initialisation. On a $v_{0} = 0, 7$ et $v_{1} = 0, 92 \times 0, 7 + 0, 3 = 0, 644 + 0, 3 = 0, 944$ . Comme $0, 7 \leq 0, 944 \leq 4$ , la propriété $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel tel que $P (k)$ soit vraie : $v_{k} \leq v_{k + 1} \leq 4$ . Montrons que $P (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire $v_{k + 1} \leq v_{k + 2} \leq 4$ .

Multiplions l'encadrement de l'hypothèse de récurrence par $0, 92 > 0$ , ce qui conserve le sens des inégalités :

$0, 92 v_{k} \leq 0, 92 v_{k + 1} \leq 0, 92 \times 4 = 3, 68.$

Ajoutons $0, 3$ à chaque membre :

$0, 92 v_{k} + 0, 3 \leq 0, 92 v_{k + 1} + 0, 3 \leq 3, 68 + 0, 3 = 3, 98.$

Or $0, 92 v_{k} + 0, 3 = v_{k + 1}$ et $0, 92 v_{k + 1} + 0, 3 = v_{k + 2}$ d'après la relation de récurrence. Donc $v_{k + 1} \leq v_{k + 2} \leq 3, 98 \leq 4$ : la propriété $P (k + 1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété est initialisée et héréditaire : par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} \leq v_{n + 1} \leq 4$ .

Ce que le correcteur attend : l'hérédité manipule l'encadrement entier $v_{k} \leq v_{k + 1} \leq 4$ (et non seulement $v_{k} \leq 4$ ), en précisant que la multiplication par $0, 92 > 0$ conserve les inégalités ; le majorant obtenu, $3, 98$ , est inférieur à $4$ , ce qui clôt l'hérédité.

2.b. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} \leq v_{n + 1}$ : la suite $(v_{n})$ est croissante ; et $v_{n + 1} \leq 4$ pour tout $n$ , donc (avec $v_{0} = 0, 7 \leq 4$ ) tous les termes vérifient $v_{n} \leq 4$ : la suite est majorée par $4$ . D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : la suite $(v_{n})$ est convergente. Notons $ℓ$ sa limite ; on a $0, 7 \leq ℓ \leq 4$ .

Calcul de la limite. La suite vérifie $v_{n + 1} = g (v_{n})$ avec $g (x) = 0, 92 x + 0, 3$ , fonction affine donc continue sur $R$ . Comme $(v_{n})$ converge vers $ℓ$ , la suite $(v_{n + 1})$ converge aussi vers $ℓ$ (c'est la même suite décalée d'un rang) et, $g$ étant continue en $ℓ$ , la suite $(g (v_{n}))$ converge vers $g (ℓ)$ . Par unicité de la limite, $ℓ$ est un point fixe de $g$ :

$ℓ = 0, 92 ℓ + 0, 3 ⟺ 0, 08 ℓ = 0, 3 ⟺ ℓ = \frac{0 , 3}{0 , 08} = \frac{30}{8} = 3, 75.$

La suite $(v_{n})$ converge vers $3, 75$ .

Autre méthode (expression explicite). Posons $w_{n} = v_{n} - 3, 75$ . Alors $w_{n + 1} = v_{n + 1} - 3, 75 = 0, 92 v_{n} + 0, 3 - 3, 75 = 0, 92 v_{n} - 3, 45 = 0, 92 (v_{n} - 3, 75) = 0, 92 w_{n}$ : la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison $0, 92$ et de premier terme $w_{0} = 0, 7 - 3, 75 = - 3, 05$ . Donc, pour tout $n$ ,

$v_{n} = 3, 75 - 3, 05 \times 0, 9 2^{n},$

et comme $- 1 < 0, 92 < 1$ , $n \to + \infty lim 0, 9 2^{n} = 0$ , d'où $n \to + \infty lim v_{n} = 3, 75$ . Cette expression servira à la question 5.

Ce que le correcteur attend : deux temps bien distincts, l'existence de la limite (théorème de convergence monotone, hypothèses citées) puis sa valeur (point fixe de la fonction continue $g$ ) ; écrire « $ℓ = 0, 92 ℓ + 0, 3$ » sans avoir établi la convergence ne prouve rien.

3. La suite $(v_{n})$ est croissante et converge vers $3, 75$ . Par définition de la limite, l'intervalle ouvert $] 3; 4 [$ , qui contient $3, 75$ , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : il existe donc un rang $n_{0}$ tel que, pour tout $n \geq n_{0}$ , $v_{n} > 3$ . À long terme, le taux de chlore dépasse $3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ et se rapproche de $3, 75$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , au-dessus du seuil maximal préconisé de $3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ : le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes. (L'ajout quotidien de $15$ g est trop important.)

4. La fonction doit parcourir les termes de la suite tant que le seuil $s$ n'est pas dépassé, et s'arrêter dès que $v_{n} > s$ : la boucle continue donc tant que v <= s (le contraire de $v_{n} > s$ ). À chaque passage, on avance d'un rang ( $n$ augmente de $1$ ) et l'on calcule le terme suivant par la relation de récurrence $v_{n + 1} = 0, 92 v_{n} + 0, 3$ .


def alerte_chlore(s) :
    n=0                      # rang courant : v_0 = 0,7
    v=0.7
    while v <= s :           # tant que le seuil n'est pas depasse
        n= n + 1             # rang suivant
        v= 0.92 * v + 0.3    # v_{n+1} = 0,92 v_n + 0,3
    return n                 # premier rang n tel que v_n > s

À la sortie de la boucle, la variable v contient $v_{n}$ pour la valeur courante de n ; la condition v <= s vient d'échouer pour la première fois, donc $v_{n} > s$ alors que $v_{n - 1} \leq s$ : la fonction renvoie bien le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} > s$ . Elle ne termine que si un tel entier existe (c'est le cas si $s < 3, 75$ , puisque $(v_{n})$ tend vers $3, 75$ en croissant ; pour $s \geq 3, 75$ , la boucle ne s'arrêterait jamais).

5. L'instruction alerte_chlore(3) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} > 3$ . Utilisons l'expression explicite $v_{n} = 3, 75 - 3, 05 \times 0, 9 2^{n}$ obtenue à la question 2.b :

$v_{n} > 3 ⟺ 3, 75 - 3, 05 \times 0, 9 2^{n} > 3 ⟺ 3, 05 \times 0, 9 2^{n} < 0, 75 ⟺ 0, 9 2^{n} < \frac{0 , 75}{3 , 05} .$

La fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , et $ln (0, 92) < 0$ (car $0 < 0, 92 < 1$ ) :

$0, 9 2^{n} < \frac{0 , 75}{3 , 05} ⟺ n ln (0, 92) < ln (\frac{0 , 75}{3 , 05}) ⟺ n > \frac{ln ( \frac{0 , 75}{3 , 05} )}{ln ( 0 , 92 )} \approx \frac{- 1 , 4028}{- 0 , 0834} \approx 16, 82.$

Le plus petit entier convenable est donc $n = 17$ . On le confirme par le calcul des termes : $v_{16} \approx 2, 947 \leq 3$ et $v_{17} \approx 3, 011 > 3$ .

Conclusion : alerte_chlore(3) renvoie $17$ . Dans le contexte, cela signifie que $17$ jours après le mercredi 19 juin, c'est-à-dire le samedi 6 juillet, le taux de chlore de la piscine dépasse pour la première fois $3$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , la limite haute préconisée par les piscinistes : c'est à cette date qu'Alain devrait réduire ses ajouts de chlore.

Partie B : étude d'un modèle continu

1. L'équation $(E)$ : $y^{'} = - 0, 08 y + \frac{q}{50}$ est une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 08 \neq = 0$ et $b = \frac{q}{50}$ . D'après le théorème sur les solutions de $y^{'} = a y + b$ , ses solutions sur $R$ sont les fonctions de la forme

$y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a} (C \in R) .$

Ici $e^{a x} = e^{- 0, 08 x}$ et

$- \frac{b}{a} = - \frac{q /50}{- 0 , 08} = \frac{q}{50 \times 0 , 08} = \frac{q}{4} .$

La fonction $f$ , solution de $(E)$ , est donc de la forme $f (x) = C e^{- 0, 08 x} + \frac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.

Vérification directe. Si $f (x) = C e^{- 0, 08 x} + \frac{q}{4}$ , alors $f^{'} (x) = - 0, 08 C e^{- 0, 08 x}$ et

$- 0, 08 f (x) + \frac{q}{50} = - 0, 08 C e^{- 0, 08 x} - 0, 08 \times \frac{q}{4} + \frac{q}{50} = - 0, 08 C e^{- 0, 08 x} - \frac{q}{50} + \frac{q}{50} = f^{'} (x),$

car $\frac{0 , 08}{4} = 0, 02 = \frac{1}{50}$ . La fonction constante $\frac{q}{4}$ est la solution particulière constante de $(E)$ , son état d'équilibre.

Ce que le correcteur attend : l'identification de $a$ et $b$ , et le calcul de $- \frac{b}{a}$ écrit (le signe de $a$ est une source d'erreur fréquente). Citer le théorème du cours suffit ; la vérification par dérivation est un complément.

2.a. On a $x \to + \infty lim (- 0, 08 x) = - \infty$ et $X \to - \infty lim e^{X} = 0$ , donc, d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, $x \to + \infty lim e^{- 0, 08 x} = 0$ . Par produit par la constante $C$ puis somme avec la constante $\frac{q}{4}$ :

$x \to + \infty lim f (x) = C \times 0 + \frac{q}{4} = \frac{q}{4} .$

À long terme, le taux de chlore se stabilise autour de $\frac{q}{4}$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , quelle que soit la valeur de $C$ , c'est-à-dire quel que soit le taux initial.

2.b. Les deux conditions se traduisent par :

le taux initial (au 19 juin, soit $x = 0$ ) vaut $0, 7$ : $f (0) = 0, 7$ ;
le taux se stabilise à long terme autour de $2$ : $x \to + \infty lim f (x) = 2$ .

D'après la question 2.a, la seconde condition s'écrit $\frac{q}{4} = 2$ , soit $q = 8$ . La première donne alors, puisque $e^{0} = 1$ :

$f (0) = C e^{0} + \frac{q}{4} = C + 2 = 0, 7 ⟺ C = 0, 7 - 2 = - 1, 3.$

Ainsi $C = - 1, 3$ et $q = 8$ , et le modèle continu est

$f (x) = 2 - 1, 3 e^{- 0, 08 x} .$

Il faut donc ajouter $q = 8$ grammes de chlore par jour. On vérifie la cohérence : $f$ est croissante (car $- 1, 3 e^{- 0, 08 x}$ croît vers $0$ ), part de $0, 7$ et tend vers $2$ sans jamais le dépasser ; le taux reste donc conforme à la préconisation, à la différence du protocole à $15$ g par jour de la partie A dont l'état d'équilibre est $\frac{15}{4} = 3, 75$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , le même que celui trouvé pour la suite $(v_{n})$ .

Ce que le correcteur attend : traduire « se stabilise autour de $2$ » par une limite et « taux observé le 19 juin » par une condition initiale en $x = 0$ , puis résoudre dans le bon ordre ( $q$ d'abord, $C$ ensuite).

Poser une question au tuteur sur ce sujet