Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Fonction et tangente : convexité, dérivée seconde

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $] - 2; + \infty [$ . On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f^{'}$ sa dérivée et $f^{''}$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $C_{f}$ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $- 1$ .

On précise que la droite $T$ passe par le point $A (0; - 1)$ .

Partie A : exploitation du graphique

À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

1. Préciser $f (- 1)$ et $f^{'} (- 1)$ .

2. La courbe $C_{f}$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.

3. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $1 0^{- 1}$ près d'une solution.

Partie B : étude de la fonction $f$

On considère que la fonction $f$ est définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = x^{2} + 2 x - 1 + ln (x + 2)$ , où $ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $- 2$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

On admet que $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

2. Montrer que pour tout $x > - 2$ , $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} + 6 x + 5}{x + 2}$ .

3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $] - 2; + \infty [$ puis dresser son tableau de variations complet.

4. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] - 2; + \infty [$ et donner une valeur arrondie de $α$ à $1 0^{- 2}$ près.

5. En déduire le signe de $f (x)$ sur $] - 2; + \infty [$ .

6. Montrer que $C_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

Partie C : une distance minimale

Soit $g$ la fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $g (x) = ln (x + 2)$ .

On note $C_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; I, J)$ , représentée ci-contre.

Soit $M$ un point de $C_{g}$ d'abscisse $x$ .

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $J M$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur $] - 2; + \infty [$ par $h (x) = J M^{2}$ .

1. Justifier que pour tout $x > - 2$ , on a : $h (x) = x^{2} + [ln (x + 2) - 1]^{2}$ .

2. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $] - 2; + \infty [$ et on note $h^{'}$ sa fonction dérivée. On admet également que pour tout réel $x > - 2$ ,

$h^{'} (x) = \frac{2 f ( x )}{x + 2}$

où $f$ est la fonction étudiée en partie B.

2.a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $] - 2; + \infty [$ . Les limites ne sont pas demandées.

2.b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $J M$ est minimale est $α$ où $α$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.

3. On notera $M_{α}$ le point de $C_{g}$ d'abscisse $α$ .

3.a. Montrer que $ln (α + 2) = 1 - 2 α - α^{2}$ .

3.b. En déduire que la tangente à $C_{g}$ au point $M_{α}$ et la droite $(J M_{α})$ sont perpendiculaires.

On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $- 1$ .

Corrigé

Partie A : exploitation du graphique

1. Le point $B$ de $C_{f}$ a pour abscisse $- 1$ ; on lit sur le graphique son ordonnée $- 2$ (il est sur la quatrième ligne horizontale sous l'axe des abscisses, chaque carreau valant $0, 5$ ), donc $f (- 1) = - 2$ .

Le nombre dérivé $f^{'} (- 1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point $B$ . Cette droite passe par $B (- 1; - 2)$ et par $A (0; - 1)$ , donc

$f^{'} (- 1) = \frac{y _{A} - y _{B}}{x _{A} - x _{B}} = \frac{- 1 - ( - 2 )}{0 - ( - 1 )} = \frac{1}{1} = 1.$

Ainsi $f (- 1) = - 2$ et $f^{'} (- 1) = 1$ . (La tangente $T$ a pour équation $y = x - 1$ .)

2. Non. D'après la caractérisation des fonctions convexes dérivables, si $f$ était convexe sur $] - 2; + \infty [$ , la courbe $C_{f}$ serait située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de $T$ . Or, sur le graphique, à gauche du point $B$ , la courbe traverse la droite $T$ (vers l'abscisse $- 1, 7$ ) et se trouve en dessous de $T$ pour les abscisses proches de $- 2$ : par exemple à l'abscisse $- 1, 8$ , le point de $T$ est à l'ordonnée $- 2, 8$ tandis que le point de $C_{f}$ est en dessous, vers $- 3$ . La courbe n'est donc pas au-dessus de sa tangente $T$ : $f$ n'est pas convexe sur son ensemble de définition.

On observe d'ailleurs que la courbe est « tournée vers le bas » (concave) près de $- 2$ puis « tournée vers le haut » (convexe) ensuite : elle semble admettre un point d'inflexion d'abscisse voisine de $- 1, 3$ , là où elle traverse sa tangente. La question 6 de la partie B le confirmera.

Ce que le correcteur attend : un argument précis et non une impression visuelle : convexe $\Rightarrow$ courbe au-dessus de toutes ses tangentes, et la tangente $T$ fournit un contre-exemple lisible sur le graphique.

3. Les solutions de $f (x) = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec l'axe des abscisses. Sur le graphique, la courbe est en dessous de cet axe à gauche, le coupe une seule fois entre $O$ et le point d'abscisse $0, 2$ , puis reste au-dessus : on conjecture que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution. Le point d'intersection est situé vers le milieu du carreau $[0; 0, 2]$ : la solution vaut environ $0, 1$ (arrondi à $1 0^{- 1}$ ). Sur un graphique, on ne peut pas lire mieux que le dixième : c'est le calcul de la partie B qui précisera $α \approx 0, 12$ .

Partie B : étude de la fonction $f$

1. Étudions la limite de $f$ en $- 2$ par valeurs supérieures ( $x > - 2$ ).

La fonction polynôme $x \mapsto x^{2} + 2 x - 1$ est continue sur $R$ , donc $x \to - 2 lim (x^{2} + 2 x - 1) = (- 2)^{2} + 2 \times (- 2) - 1 = 4 - 4 - 1 = - 1$ .
Posons $X = x + 2$ . Quand $x \to - 2$ avec $x > - 2$ , $X \to 0$ avec $X > 0$ , et $X \to 0^{+} lim ln X = - \infty$ . D'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, $x \to - 2^{+} lim ln (x + 2) = - \infty$ .

Par somme d'une limite finie et d'une limite infinie :

$x \to - 2^{+} lim f (x) = - \infty.$

Interprétation graphique : la droite d'équation $x = - 2$ est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ : la courbe « plonge » le long de cette droite quand $x$ se rapproche de $- 2$ , ce que l'on devine sur le graphique à gauche.

2. La fonction $f$ est dérivable sur $] - 2; + \infty [$ comme somme de la fonction polynôme $x \mapsto x^{2} + 2 x - 1$ et de la fonction $x \mapsto ln (x + 2)$ , de la forme $ln u$ avec $u (x) = x + 2 > 0$ sur cet intervalle et $u^{'} (x) = 1$ ; d'après la formule $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , sa dérivée est $x \mapsto \frac{1}{x + 2}$ . Ainsi, pour tout $x > - 2$ :

$f^{'} (x) = 2 x + 2 + \frac{1}{x + 2} .$

Réduisons au même dénominateur $x + 2$ :

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 2 ) ( x + 2 ) + 1}{x + 2} = \frac{2 x ^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 1}{x + 2} = \frac{2 x ^{2} + 6 x + 5}{x + 2} .$

C'est bien l'expression annoncée.

3. Le signe de $f^{'} (x)$ est celui du quotient $\frac{2 x ^{2} + 6 x + 5}{x + 2}$ .

Le dénominateur $x + 2$ est strictement positif sur $] - 2; + \infty [$ .
Le numérateur est un trinôme du second degré de discriminant $Δ = 6^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 36 - 40 = - 4 < 0$ : il n'a pas de racine réelle et est du signe de son coefficient dominant $2 > 0$ . Donc $2 x^{2} + 6 x + 5 > 0$ pour tout réel $x$ .

Par quotient de deux quantités strictement positives, $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x > - 2$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $] - 2; + \infty [$ . Avec $x \to - 2^{+} lim f (x) = - \infty$ (question 1) et $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ (admis), on obtient le tableau de variations :

$x$	$- 2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$+ \infty$

Les valeurs $- \infty$ et $+ \infty$ aux bornes sont des limites, non atteintes ( $- 2$ n'appartient pas à l'ensemble de définition).

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Partie A : exploitation du graphique

Partie B : étude de la fonction f

Partie C : une distance minimale

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Partie B : étude de la fonction f

Partie B : étude de la fonction $f$

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