Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 2 — Exercice 4 : Vrai/Faux : plans, coplanarité, projeté orthogonal

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :

$A (2; 0; 0), B (0; 4; 3), C (4; 4; 1), D (0; 0; 4) et H (- 1; 1; 2) .$

Affirmation 1 : les points $A$ , $C$ et $D$ définissent un plan $P$ d'équation $8 x - 5 y + 4 z - 16 = 0$ .

Affirmation 2 : les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires.

Affirmation 3 : les droites $(A C)$ et $(B H)$ sont sécantes.

On admet que le plan $(A B C)$ a pour équation cartésienne $x - y + 2 z - 2 = 0$ .

Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(A B C)$ .

Corrigé

Affirmation 1 : VRAIE.

L'affirmation contient deux choses à vérifier : que les trois points définissent bien un plan (ils ne sont pas alignés), puis que ce plan admet l'équation proposée.

Les points $A$ , $C$ et $D$ ne sont pas alignés. Calculons

$A C 4 - 2 4 - 0 1 - 0 = 241 et A D 0 - 2 0 - 0 4 - 0 = - 2 04 .$

S'il existait un réel $k$ tel que $A D = k A C$ , la deuxième coordonnée donnerait $0 = 4 k$ , soit $k = 0$ , et la première donnerait alors $- 2 = 0$ , ce qui est absurde. Les vecteurs $A C$ et $A D$ ne sont pas colinéaires : les points $A$ , $C$ et $D$ ne sont pas alignés et définissent un plan $P = (A C D)$ .

Le vecteur $n (8; - 5; 4)$ est normal à $P$ . Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire :

$n \cdot A C = 8 \times 2 + (- 5) \times 4 + 4 \times 1 = 16 - 20 + 4 = 0,$

$n \cdot A D = 8 \times (- 2) + (- 5) \times 0 + 4 \times 4 = - 16 + 0 + 16 = 0.$

Le vecteur non nul $n$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $A C$ et $A D$ du plan $P$ : c'est un vecteur normal à $P$ .

Équation cartésienne. D'après le théorème sur l'équation cartésienne d'un plan, $P$ admet une équation de la forme $8 x - 5 y + 4 z + d = 0$ avec $d \in R$ . Le point $A (2; 0; 0)$ appartient à $P$ , donc $8 \times 2 - 0 + 0 + d = 0$ , soit $d = - 16$ . Une équation cartésienne de $P$ est bien

$8 x - 5 y + 4 z - 16 = 0.$

Vérification par les deux autres points : pour $C (4; 4; 1)$ , $8 \times 4 - 5 \times 4 + 4 \times 1 - 16 = 32 - 20 + 4 - 16 = 0$ ; pour $D (0; 0; 4)$ , $0 - 0 + 16 - 16 = 0$ . Les trois points vérifient l'équation. L'affirmation 1 est vraie.

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