Corrigé bac mathématiques 2024 Métropole jour 2 — Exercice 4 : Vrai/Faux : plans, coplanarité, projeté orthogonal

Affirmation 1 : VRAIE.

L'affirmation contient deux choses à vérifier : que les trois points définissent bien un plan (ils ne sont pas alignés), puis que ce plan admet l'équation proposée.

Les points $A$, $C$ et $D$ ne sont pas alignés. Calculons

$$\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}4-2\\ 4-0\\ 1-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)\text{et}\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}0-2\\ 0-0\\ 4-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right).$$

S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AC}$, la deuxième coordonnée donnerait $0=4k$, soit $k=0$, et la première donnerait alors $-2=0$, ce qui est absurde. Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires : les points $A$, $C$ et $D$ ne sont pas alignés et définissent un plan $\mathcal{P}=(ACD)$.

Le vecteur $\overrightarrow{n}(8;-5;4)$ est normal à $\mathcal{P}$. Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire :

$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AC}=8\times 2+(-5)\times 4+4\times 1=16-20+4=0,$$

$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AD}=8\times (-2)+(-5)\times 0+4\times 4=-16+0+16=0.$$

Le vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ du plan $\mathcal{P}$ : c'est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Équation cartésienne. D'après le théorème sur l'équation cartésienne d'un plan, $\mathcal{P}$ admet une équation de la forme $8x-5y+4z+d=0$ avec $d\in \mathbb{R}$. Le point $A(2;0;0)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc $8\times 2-0+0+d=0$, soit $d=-16$. Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est bien

$$8x-5y+4z-16=0.$$

Vérification par les deux autres points : pour $C(4;4;1)$, $8\times 4-5\times 4+4\times 1-16=32-20+4-16=0$ ; pour $D(0;0;4)$, $0-0+16-16=0$. Les trois points vérifient l'équation. L'affirmation 1 est vraie.

Ce que le correcteur attend : vérifier que les trois points satisfont l'équation ne suffit pas à lui seul : il faut aussi qu'ils ne soient pas alignés (sinon ils ne « définissent » pas un plan, et une infinité de plans passeraient par eux). Une autre rédaction, aussi valable : l'équation proposée est celle d'un plan (ses coefficients $8$, $-5$, $4$ ne sont pas tous nuls), les trois points non alignés lui appartiennent, donc ce plan est $(ACD)$.

Affirmation 2 : FAUSSE.

Les points $A$, $C$ et $D$ définissent le plan $\mathcal{P}$ (affirmation 1). Les quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si et seulement si $B$ appartient à ce plan, c'est-à-dire si ses coordonnées vérifient l'équation $8x-5y+4z-16=0$. Or, pour $B(0;4;3)$ :

$$8\times 0-5\times 4+4\times 3-16=0-20+12-16=-24\ne 0.$$

Le point $B$ n'appartient pas au plan $(ACD)$ : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires. L'affirmation 2 est fausse. (Ils forment un tétraèdre non aplati.)

Ce que le correcteur attend : réutiliser le plan de l'affirmation 1 rend la réponse immédiate ; on peut aussi montrer que $\overrightarrow{AB}(-2;4;3)$ n'est pas combinaison linéaire de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$, mais c'est plus long.

Affirmation 3 : VRAIE.

Vecteurs directeurs. La droite $(AC)$ est dirigée par $\overrightarrow{AC}(2;4;1)$ et la droite $(BH)$ par

$$\overrightarrow{BH}\left(\begin{array}{c}-1-0\\ 1-4\\ 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right).$$

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{AC}$, la première coordonnée impose $k=-\frac{1}{2}$ et la deuxième $k=-\frac{3}{4}$, ce qui est contradictoire. Les droites ne sont donc pas parallèles : elles sont soit sécantes, soit non coplanaires. Il faut chercher un point commun.

Représentations paramétriques. Un point $M(x;y;z)$ appartient à $(AC)$ si et seulement s'il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}$, et à $(BH)$ si et seulement s'il existe $s\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{BM}=s\overrightarrow{BH}$ :

$$(AC):\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=4t\\ z=t\end{array}(t\in \mathbb{R})\text{et}(BH):\{\begin{array}{l}x=-s\\ y=4-3s\\ z=3-s\end{array}(s\in \mathbb{R}).$$

Recherche d'un point commun. Un point commun correspond à un couple $(t;s)$ solution du système

$$\{\begin{array}{l}2+2t=-s\\ 4t=4-3s\\ t=3-s\end{array}$$

La troisième équation donne $t=3-s$. En reportant dans la première : $2+2(3-s)=-s⟺8-2s=-s⟺s=8$, d'où $t=3-8=-5$. Vérifions la deuxième équation, qui n'a pas encore servi : $4t=4\times (-5)=-20$ et $4-3s=4-24=-20$. Elle est satisfaite : le système admet la solution $(t;s)=(-5;8)$.

Le point correspondant est, avec $t=-5$ dans $(AC)$ : $I(2-10;-20;-5)=I(-8;-20;-5)$ ; avec $s=8$ dans $(BH)$ : $(-8;4-24;3-8)=(-8;-20;-5)$. Les deux droites, non parallèles, ont le point $I(-8;-20;-5)$ en commun : elles sont sécantes en $I$. L'affirmation 3 est vraie.

Ce que le correcteur attend : le système a trois équations pour deux inconnues : on résout avec deux équations et l'on vérifie la troisième, c'est elle qui décide entre « sécantes » et « non coplanaires ». Il est indispensable d'utiliser deux paramètres différents ($t$ et $s$) pour les deux droites.

Affirmation 4 : VRAIE.

Par définition, le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point d'intersection de ce plan avec la droite passant par $D$ et orthogonale au plan. Le point $H$ est donc le projeté orthogonal de $D$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies : $H$ appartient au plan $(ABC)$, et la droite $(DH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

Le point $H$ appartient à $(ABC)$. Pour $H(-1;1;2)$ : $-1-1+2\times 2-2=-1-1+4-2=0$. Les coordonnées de $H$ vérifient l'équation $x-y+2z-2=0$ : $H\in (ABC)$.

La droite $(DH)$ est orthogonale à $(ABC)$. D'après l'équation cartésienne, le vecteur ${\overrightarrow{n}}^{\prime }(1;-1;2)$ est normal au plan $(ABC)$. Or

$$\overrightarrow{DH}\left(\begin{array}{c}-1-0\\ 1-0\\ 2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=-{\overrightarrow{n}}^{\prime }.$$

Le vecteur $\overrightarrow{DH}$ est colinéaire au vecteur normal ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ (et non nul) : la droite $(DH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

Les deux conditions sont satisfaites : $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$. L'affirmation 4 est vraie. On en déduit au passage que la distance de $D$ au plan $(ABC)$ vaut $DH=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6}$.

Vérification de l'équation admise : $A$ : $2-0+0-2=0$ ; $B$ : $0-4+6-2=0$ ; $C$ : $4-4+2-2=0$. Les trois points sont bien dans le plan d'équation $x-y+2z-2=0$. On note que $D$ n'y est pas ($0-0+8-2=6\ne 0$), ce qui confirme l'affirmation 2.

Ce que le correcteur attend : les deux conditions, appartenance de $H$ au plan et orthogonalité de $(DH)$ au plan ; l'une sans l'autre ne prouve rien. L'orthogonalité se lit sur la colinéarité de $\overrightarrow{DH}$ avec le vecteur normal fourni par l'équation cartésienne, sans qu'il soit nécessaire de calculer deux produits scalaires.