Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Étude d'une fonction avec logarithme et convexité

Partie A : Lectures graphiques

1. Le nombre dérivé $f^{\prime }(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$. Cette droite passe par $A(1;2)$ et par $C(3;0)$, donc son coefficient directeur vaut

$$f^{\prime }(1)=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0-2}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1.$$

On lit d'ailleurs sur le graphique que $T_A$ descend d'une unité quand on avance d'une unité : $f^{\prime }(1)=-1$.

2. Les solutions de l'équation $f^{\prime }(x)=0$ sont les abscisses des points de ${\mathcal{C}}_f$ où la tangente est horizontale. Sur $]0;3]$, la courbe présente deux tels points : un maximum local, d'abscisse comprise entre $0,2$ et $0,4$ (environ $0,37$), et un minimum local, d'abscisse comprise entre $1,6$ et $1,8$ (environ $1,65$). Partout ailleurs sur $]0;3]$ la courbe est strictement monotone (croissante avant le maximum, décroissante entre les deux extremums, croissante après le minimum), donc la tangente n'y est jamais horizontale. L'équation $f^{\prime }(x)=0$ admet donc exactement deux solutions dans $]0;3]$.

Vérification (hors lecture graphique) : avec l'expression de $f^{\prime }$ admise en partie B, $f^{\prime }(x)=2(\ln x{)}^2+\ln x-1=(2\ln x-1)(\ln x+1)$ s'annule pour $\ln x=\frac{1}{2}$ ou $\ln x=-1$, soit $x=\sqrt{\mathrm{e}}\approx 1,65$ et $x=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,37$, tous deux dans $]0;3]$ : cela confirme la lecture.

3. Au voisinage du point d'abscisse $0,2$, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est « tournée vers le bas » : elle est située au-dessous de ses tangentes (la courbe monte de plus en plus lentement entre $0$ et son maximum, la pente des tangentes diminue). La fonction $f$ est donc concave sur un intervalle contenant $0,2$, ce qui, pour une fonction deux fois dérivable, équivaut à $f^{\prime \prime }⩽0$ sur cet intervalle. La courbe n'étant pas rectiligne autour de $0,2$ (ce n'est pas un point d'inflexion), on conclut que $f^{\prime \prime }(0,2)$ est strictement négatif.

Ce que le correcteur attend : le lien « courbe sous ses tangentes $⟺$ $f$ concave $⟺$ $f^{\prime \prime }⩽0$ » explicitement énoncé, et non une simple affirmation du signe. (Avec la formule de la partie B, $f^{\prime \prime }(0,2)=\frac{4\ln (0,2)+1}{0,2}\approx -27,2<0$.)

Partie B : Étude de la fonction $f$

1. L'équation $2X^2-3X+2=0$ est une équation du second degré, de discriminant

$$\Delta =(-3{)}^2-4\times 2\times 2=9-16=-7<0.$$

Elle n'admet donc aucune solution réelle.

Cherchons les points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ avec l'axe des abscisses, c'est-à-dire les solutions de $f(x)=0$ sur $]0;+\infty [$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$$f(x)=0⟺x=0\text{ou}2(\ln x{)}^2-3\ln x+2=0.$$

Le cas $x=0$ est exclu, car $0\notin ]0;+\infty [$. Pour le second facteur, posons $X=\ln x$ : l'équation devient $2X^2-3X+2=0$, qui n'a pas de solution réelle. Il n'existe donc aucun réel $x>0$ tel que $f(x)=0$ : la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

Remarque. Comme $\Delta <0$ et que le coefficient de $X^2$ est $2>0$, le trinôme $2X^2-3X+2$ est strictement positif pour tout réel $X$ ; avec $x>0$, on obtient même $f(x)>0$ sur $]0;+\infty [$ : la courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, ce que confirme le graphique.

2. Posons $X=\ln x$. Lorsque $x\to +\infty$, $X=\ln x\to +\infty$ (limite de référence). Pour $X\ne 0$,

$$2X^2-3X+2=X^2\left(2-\frac{3}{X}+\frac{2}{X^2}\right).$$

Or $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{3}{X}=0$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{2}{X^2}=0$, donc par somme $\underset{X\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{3}{X}+\frac{2}{X^2}\right)=2$, et par produit avec $\underset{X\to +\infty }{\lim }{X}^2=+\infty$ :

$$\underset{X\to +\infty }{\lim }(2X^2-3X+2)=+\infty .$$

Par composition (avec $X=\ln x\to +\infty$), $\underset{x\to +\infty }{\lim }(2(\ln x{)}^2-3\ln x+2)=+\infty$. Enfin $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$, donc par produit :