Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Vrai/Faux : géométrie dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

1. On considère les points $A (- 1; 0; 5)$ et $B (3; 2; - 1)$ .

Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite $(A B)$ est

$⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - 2 t y = 2 - t z = - 1 + 3 t avec t \in R .$

Affirmation 2 : Le vecteur $n 5 - 2 1$ est normal au plan $(O A B)$ .

2. On considère :

la droite $d$ de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 15 + k y = 8 - k z = - 6 + 2 k$ avec $k \in R$ ;
la droite $d^{'}$ de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 4 s y = 2 + 4 s z = 1 - 6 s$ avec $s \in R$ .

Affirmation 3 : Les droites $d$ et $d^{'}$ ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan $P$ d'équation $x - y + z + 1 = 0$ .

Affirmation 4 : La distance du point $C (2; - 1; 2)$ au plan $P$ est égale à $23$ .

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

Une représentation paramétrique de droite se lit ainsi : le point obtenu pour $t = 0$ est un point de la droite, et les coefficients de $t$ sont les coordonnées d'un vecteur directeur. La droite $Δ$ décrite par le système proposé passe donc par le point de coordonnées $(3; 2; - 1)$ , qui est le point $B$ , et elle est dirigée par le vecteur

$u = - 2 - 1 3 .$

Par ailleurs

$A B = 3 - (- 1) 2 - 0 - 1 - 5 = 42 - 6 = - 2 u .$

Les vecteurs $A B$ et $u$ sont colinéaires (et non nuls), donc $u$ est un vecteur directeur de la droite $(A B)$ . La droite $Δ$ et la droite $(A B)$ passent toutes deux par $B$ et ont la même direction : elles sont confondues. Le système proposé est bien une représentation paramétrique de $(A B)$ : l'affirmation 1 est vraie.

Autre vérification : le point $A$ appartient à $Δ$ , car $3 - 2 t = - 1$ , $2 - t = 0$ et $- 1 + 3 t = 5$ sont vérifiées simultanément pour $t = 2$ . Une droite passant par $A$ et $B$ (points distincts) est nécessairement $(A B)$ .

Ce que le correcteur attend : deux vérifications, pas une : un point de $(A B)$ sur la droite et un vecteur directeur colinéaire à $A B$ (ou bien les deux points $A$ et $B$ sur la droite). Le vecteur directeur $u$ n'est pas égal à $A B$ , il lui est seulement colinéaire : cela suffit.

1. Affirmation 2 : FAUSSE.

Les points $O$ , $A$ et $B$ définissent un plan, car les vecteurs

$O A = - 1 05 et O B = 32 - 1$

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