Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 1 — Exercice 4 : Posidonie : suite et équation différentielle

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles.

La zone étudiée est d'une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'année $2024 + n$ . Ainsi, $u_{0} = 1$ .

Une étude conduite sur cette superficie a permis d'établir que pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = - 0, 02 u_{n}^{2} + 1, 3 u_{n} .$

1. Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d'après ce modèle.

2. On note $h$ la fonction définie sur $[0; 20]$ par $h (x) = - 0, 02 x^{2} + 1, 3 x$ .

On admet que $h$ est croissante sur $[0; 20]$ .

2.a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 20$ .

2.b. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge. On note $L$ sa limite.

2.c. Justifier que $L = 15$ .

3. Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

3.a. Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.

3.b. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes.


def seuil():
    n=0
    u=1
    while ............ :
        n= ............
        u= ............
    return n

Partie B : étude d'un modèle continu

On souhaite décrire la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modèle continu.

Dans ce modèle, pour une durée $t$ , en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par $f (t)$ , où $f$ est une fonction définie sur $[0; + \infty [$ vérifiant :

$f (0) = 1$ ;
$f$ ne s'annule pas sur $[0; + \infty [$ ;
$f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ ;
$f$ est solution sur $[0; + \infty [$ de l'équation différentielle $(E_{1}) : y^{'} = 0, 02 y (15 - y)$ .

On admet qu'une telle fonction $f$ existe ; le but de cette partie est d'en déterminer une expression.

On note $f^{'}$ la fonction dérivée de $f$ .

1. Soit $g$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $g (t) = \frac{1}{f ( t )}$ .

Montrer que $g$ est solution de l'équation différentielle $(E_{2}) : y^{'} = - 0, 3 y + 0, 02$ .

2. Donner les solutions de l'équation différentielle $(E_{2})$ .

3. En déduire que pour tout $t \in [0; + \infty [$ :

$f (t) = \frac{15}{14 e ^{- 0, 3 t} + 1} .$

4. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ .

5. Résoudre dans l'intervalle $[0; + \infty [$ l'inéquation $f (t) > 14$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A : étude d'un modèle discret

1. Le premier juillet 2025 correspond à $n = 1$ (année $2024 + 1$ ). D'après la relation de récurrence, avec $u_{0} = 1$ :

$u_{1} = - 0, 02 \times u_{0}^{2} + 1, 3 \times u_{0} = - 0, 02 \times 1 + 1, 3 \times 1 = - 0, 02 + 1, 3 = 1, 28.$

D'après ce modèle, la posidonie devrait recouvrir $1, 28$ ha au premier juillet 2025.

2.a. Remarquons d'abord que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = h (u_{n})$ : la fonction $h$ est la fonction de récurrence de la suite. Calculons les deux valeurs utiles :

$h (1) = - 0, 02 + 1, 3 = 1, 28 et h (20) = - 0, 02 \times 400 + 1, 3 \times 20 = - 8 + 26 = 18.$

Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété

$P (n) : 1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 20$

est vraie.

Initialisation. Pour $n = 0$ : $u_{0} = 1$ et $u_{1} = 1, 28$ (question 1), donc $1 ⩽ u_{0} ⩽ u_{1} ⩽ 20$ s'écrit $1 ⩽ 1 ⩽ 1, 28 ⩽ 20$ , ce qui est vrai. $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P (n)$ soit vraie : $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 20$ . Les trois nombres $1$ , $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ appartiennent alors à $[0; 20]$ , de même que $20$ . Comme $h$ est croissante sur $[0; 20]$ , elle conserve l'ordre de ces nombres :

$h (1) ⩽ h (u_{n}) ⩽ h (u_{n + 1}) ⩽ h (20), c’est- a ˋ -dire 1, 28 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} ⩽ 18.$

Or $1 ⩽ 1, 28$ et $18 ⩽ 20$ , donc $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} ⩽ 20$ : $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 20$ .

Ce que le correcteur attend : la croissance de $h$ ne s'applique qu'à des nombres de $[0; 20]$ , ce que garantit l'hypothèse de récurrence ; et l'encadrement obtenu ( $1, 28$ et $18$ ) est plus fin que celui visé, il faut donc écrire explicitement le relâchement « $1 ⩽ 1, 28$ et $18 ⩽ 20$ ».

2.b. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ : la suite $(u_{n})$ est croissante ;
$u_{n} ⩽ 20$ : la suite $(u_{n})$ est majorée par $20$ .

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente : la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $L$ . De plus, comme $1 ⩽ u_{n} ⩽ 20$ pour tout $n$ , par passage à la limite dans les inégalités, $1 ⩽ L ⩽ 20$ .

2.c. La fonction $h$ est une fonction polynôme du second degré, donc continue sur $R$ , en particulier sur $[0; 20]$ ; tous les termes de la suite sont dans $[1; 20] \subset [0; 20]$ , et $u_{n + 1} = h (u_{n})$ pour tout $n$ . Puisque $(u_{n})$ converge vers $L \in [1; 20]$ , la propriété du cours sur la limite d'une suite récurrente (« $L$ est un point fixe de $h$ ») donne $h (L) = L$ : en effet, $u_{n + 1} \to L$ et, par continuité de $h$ en $L$ , $h (u_{n}) \to h (L)$ ; l'unicité de la limite impose $h (L) = L$ . Résolvons cette équation :

$h (L) = L ⟺ - 0, 02 L^{2} + 1, 3 L = L ⟺ - 0, 02 L^{2} + 0, 3 L = 0 ⟺ L (- 0, 02 L + 0, 3) = 0.$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $L = 0$ ou $- 0, 02 L + 0, 3 = 0 ⟺ L = \frac{0 , 3}{0 , 02} = 15$ . Or $L ⩾ 1$ , ce qui exclut $L = 0$ . Donc $L = 15$ : d'après ce modèle, la superficie recouverte tend vers $15$ ha.

Ce que le correcteur attend : la continuité de $h$ citée (c'est l'hypothèse qui autorise le passage à la limite dans $u_{n + 1} = h (u_{n})$ ), les deux points fixes trouvés, et l'élimination de $0$ par l'encadrement $L ⩾ 1$ — sans cet argument, la réponse « $L = 15$ » n'est pas justifiée.

3.a. La suite $(u_{n})$ converge vers $15$ . Par définition de la limite, tout intervalle ouvert contenant $15$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. L'intervalle $] 14; 16 [$ contient $15$ : il existe donc un rang $n_{0}$ à partir duquel $u_{n} \in] 14; 16 [$ , en particulier $u_{n} > 14$ . Ainsi, d'après ce modèle, la superficie recouverte dépassera 14 hectares (et, la suite étant croissante, restera ensuite au-dessus de ce seuil).

Ce que le correcteur attend : l'argument « la limite $15$ est strictement supérieure à $14$ », traduit par la définition de la convergence ; « la suite est croissante » ne suffit pas seul (une suite croissante peut converger vers $14$ sans jamais le dépasser).

3.b. C'est un algorithme de seuil : on avance dans la suite tant que le seuil de 14 ha n'est pas dépassé. À l'entrée dans la boucle, la variable u contient $u_{n}$ et la variable n contient l'indice $n$ ; on passe au rang suivant en incrémentant n et en calculant $u_{n + 1}$ par la relation de récurrence.


def seuil():
    n=0
    u=1
    while u <= 14 :
        n= n + 1
        u= -0.02 * u**2 + 1.3 * u
    return n

La boucle s'arrête dès que u dépasse strictement 14 : la fonction renvoie alors le premier entier $n$ tel que $u_{n} > 14$ , c'est-à-dire le nombre d'années au bout duquel la posidonie dépasse 14 ha (la question 3.a garantit que la boucle se termine). L'ordre des deux lignes du corps de boucle est sans importance ici, car le calcul de u n'utilise pas n.

En exécutant l'algorithme (ou en calculant les termes de proche en proche : $u_{16} \approx 13, 35$ , $u_{17} \approx 13, 79$ , $u_{18} \approx 14, 12$ ), on obtient seuil() $= 18$ : la posidonie dépassera 14 ha au premier juillet 2042.

Remarque. Écrire while u < 14 conduit ici au même résultat, car aucun terme de la suite n'est exactement égal à $14$ ; la condition u <= 14 est celle qui traduit fidèlement « tant que la superficie ne dépasse pas 14 ha ».

Partie B : étude d'un modèle continu

1. La fonction $f$ est dérivable et ne s'annule pas sur $[0; + \infty [$ , donc $g = \frac{1}{f}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ , de dérivée (formule $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ ) :

$g^{'} (t) = - \frac{f ^{'} ( t )}{f ( t ) ^{2}} .$

Comme $f$ est solution de $(E_{1})$ , $f^{'} (t) = 0, 02 f (t) (15 - f (t))$ pour tout $t ⩾ 0$ . En remplaçant, puis en simplifiant par $f (t) \neq = 0$ :

$g^{'} (t) = - \frac{0 , 02 f ( t ) ( 15 - f ( t ) )}{f ( t ) ^{2}} = - \frac{0 , 02 ( 15 - f ( t ) )}{f ( t )} = - \frac{0 , 3}{f ( t )} + 0, 02 = - 0, 3 g (t) + 0, 02.$

Ainsi, pour tout $t \in [0; + \infty [$ , $g^{'} (t) = - 0, 3 g (t) + 0, 02$ : la fonction $g$ est solution de $(E_{2})$ .

Ce que le correcteur attend : la justification de la dérivabilité de $g$ (par « $f$ ne s'annule pas »), puis le remplacement de $f^{'}$ par l'expression donnée par $(E_{1})$ ; la simplification par $f (t)$ doit faire apparaître $\frac{1}{f ( t )} = g (t)$ .

2. L'équation $(E_{2}) : y^{'} = - 0, 3 y + 0, 02$ est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 3 \neq = 0$ et $b = 0, 02$ . D'après le théorème du cours, ses solutions sur $R$ (et donc sur $[0; + \infty [$ ) sont les fonctions

$t ⟼ C e^{- 0, 3 t} - \frac{b}{a} = C e^{- 0, 3 t} + \frac{0 , 02}{0 , 3} = C e^{- 0, 3 t} + \frac{1}{15}, C \in R .$

(La solution constante $\frac{1}{15}$ s'obtient en résolvant $0 = - 0, 3 y + 0, 02$ .)

3. D'après les questions 1 et 2, il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t ⩾ 0$ , $g (t) = C e^{- 0, 3 t} + \frac{1}{15}$ . La condition initiale $f (0) = 1$ donne $g (0) = \frac{1}{f ( 0 )} = 1$ , d'où

$C e^{0} + \frac{1}{15} = 1 ⟺ C = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} .$

Donc, pour tout $t ⩾ 0$ :

$g (t) = \frac{14}{15} e^{- 0, 3 t} + \frac{1}{15} = \frac{14 e ^{- 0, 3 t} + 1}{15},$

et, puisque $f = \frac{1}{g}$ (avec $g (t) > 0$ , somme de termes strictement positifs) :

$f (t) = \frac{1}{g ( t )} = \frac{15}{14 e ^{- 0, 3 t} + 1} .$

On vérifie : $f (0) = \frac{15}{14 + 1} = 1$ .

4. On a $t \to + \infty lim (- 0, 3 t) = - \infty$ et $X \to - \infty lim e^{X} = 0$ , donc par composition $t \to + \infty lim e^{- 0, 3 t} = 0$ . Par produit et somme, $t \to + \infty lim (14 e^{- 0, 3 t} + 1) = 1$ , puis par quotient :

$t \to + \infty lim f (t) = \frac{15}{1} = 15.$

Comme dans le modèle discret, la superficie recouverte par la posidonie tend vers 15 ha : la droite d'équation $y = 15$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+ \infty$ .

5. Pour tout $t ⩾ 0$ , le dénominateur $14 e^{- 0, 3 t} + 1$ est strictement positif : on peut multiplier les deux membres par ce dénominateur sans changer le sens de l'inégalité :

$f (t) > 14 ⟺ \frac{15}{14 e ^{- 0, 3 t} + 1} > 14 ⟺ 15 > 14 (14 e^{- 0, 3 t} + 1) ⟺ 15 > 196 e^{- 0, 3 t} + 14 ⟺ 196 e^{- 0, 3 t} < 1 ⟺ e^{- 0, 3 t} < \frac{1}{196} ⟺ - 0, 3 t < ln (\frac{1}{196}) = - ln 196 ⟺ t > \frac{ln 196}{0 , 3} .$

La troisième ligne utilise la stricte croissance de la fonction $ln$ sur $] 0; + \infty [$ (les deux membres sont strictement positifs), puis $ln (\frac{1}{196}) = - ln 196$ ; la dernière équivalence est une division par $- 0, 3 < 0$ , qui change le sens de l'inégalité. Or $\frac{ln 196}{0 , 3} = \frac{2 ln 14}{0 , 3} \approx 17, 59$ , et cette valeur appartient bien à $[0; + \infty [$ . L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (t) > 14$ dans $[0; + \infty [$ est donc

$S =] \frac{ln 196}{0 , 3}; + \infty [\approx] 17, 59; + \infty [.$

Interprétation : d'après le modèle continu, la superficie recouverte par la posidonie dépasse 14 ha au bout d'environ $17, 6$ années après le premier juillet 2024, soit au cours du premier semestre 2042 (environ 17 ans et 7 mois, c'est-à-dire vers février 2042), et reste ensuite supérieure à 14 ha. Ce résultat est cohérent avec le modèle discret, qui donnait le premier juillet 2042.

Ce que le correcteur attend : la positivité du dénominateur justifiée avant de « passer en croix », le changement de sens de l'inégalité lors de la division par $- 0, 3$ , la valeur exacte $\frac{ln 196}{0 , 3}$ avant son approximation, et une interprétation qui convertit la durée en date en repartant du premier juillet 2024.

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