Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 2 — Exercice 1 : Centre de séjour : probabilités, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

$A$ : « La personne chute pendant la première séance » ;
$B$ : « La personne chute pendant la deuxième séance ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $P (E)$ sa probabilité et $E$ son événement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P (A) = 0, 6$ .

De plus on constate que :

si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0, 3$ ;
si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0, 4$ .

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P (A \cap B)$ et interpréter le résultat.

3. Montrer que $P (B) = 0, 34$ .

4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.

5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de $100$ personnes à un tirage avec remise.

On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0, 24$ .

5.a. Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5.b. Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?

5.c. Calculer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. On note $T_{1}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et $T_{2}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

$T_{1}$ suit une loi de probabilité d'espérance $E (T_{1}) = 40$ et d'écart-type $σ (T_{1}) = 10$ ;
$T_{2}$ suit une loi de probabilité d'espérance $E (T_{2}) = 60$ et d'écart-type $σ (T_{2}) = 16$ ;
les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes.

On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès aux activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T = T_{1} + T_{2}$ .

1. Déterminer l'espérance $E (T)$ de la variable aléatoire $T$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Montrer que la variance $V (T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $356$ .

3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0, 77$ .

Corrigé

Partie A

1. L'énoncé donne $P (A) = 0, 6$ , donc $P (A) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ . Les deux constats sont des probabilités conditionnelles : $P_{A} (B) = 0, 3$ et $P_{A} (B) = 0, 4$ . Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches vaut $1$ , d'où $P_{A} (B) = 1 - 0, 3 = 0, 7$ et $P_{A} (B) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ .

2. La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 4 \times 0, 6 = 0, 24.$

Interprétation : la probabilité qu'une personne ayant souscrit à la formule ne chute à aucune des deux séances de cours est égale à $0, 24$ ; environ $24 %$ des personnes traversent les deux séances sans chuter.

3. Les événements $A$ et $A$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P (B) = P (A \cap B) + P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (A) \times P_{A} (B),$

soit

$P (B) = 0, 6 \times 0, 3 + 0, 4 \times 0, 4 = 0, 18 + 0, 16 = 0, 34.$

4. On sait que la personne n'a pas chuté à la deuxième séance (événement $B$ , réalisé) et l'on cherche la probabilité qu'elle n'ait pas chuté à la première : c'est la probabilité conditionnelle $P_{B} (A)$ . Par définition,

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .$

Or $P (B) = 1 - P (B) = 1 - 0, 34 = 0, 66$ et $P (A \cap B) = 0, 24$ (question 2). Donc

$P_{B} (A) = \frac{0 , 24}{0 , 66} = \frac{24}{66} = \frac{4}{11} = 0, 3636 \dots \approx 0, 364.$

Sachant que la personne n'a pas chuté à la deuxième séance, la probabilité qu'elle n'ait pas chuté non plus à la première est d'environ $0, 364$ .

Ce que le correcteur attend : le conditionnement est « sachant $B$ », lu à l'envers de l'arbre ; il faut passer par la définition $P_{B} (A) = P (A \cap B) / P (B)$ et non lire $0, 6$ sur une branche.

5.a. On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une personne ayant souscrit à la formule et à regarder si elle « ne chute ni à la première ni à la deuxième séance » (succès, de probabilité $p = 0, 24$ d'après l'énoncé) ou non (échec, de probabilité $1 - p = 0, 76$ ). Le choix de l'échantillon étant assimilé à un tirage avec remise, cette épreuve est répétée $n = 100$ fois de façon identique et indépendante : c'est un schéma de Bernoulli de paramètres $100$ et $0, 24$ . La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès parmi ces $100$ répétitions : elle suit donc la loi binomiale $B (100; 0, 24)$ .

5.b. On cherche $P (X \geq 20)$ . On passe par l'événement contraire :

$P (X \geq 20) = 1 - P (X \leq 19) .$

À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale $B (100; 0, 24)$ ), $P (X \leq 19) \approx 0, 1453$ , d'où

$P (X \geq 20) \approx 1 - 0, 1453 = 0, 8547 \approx 0, 855.$

La probabilité qu'au moins $20$ personnes de l'échantillon ne chutent à aucune des deux séances est d'environ $0, 855$ .

5.c. Pour une loi binomiale, $E (X) = n p$ :

$E (X) = 100 \times 0, 24 = 24.$

Interprétation : si l'on constitue un grand nombre d'échantillons de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, le nombre de personnes qui ne chutent à aucune des deux séances vaut en moyenne $24$ par échantillon.

Partie B

1. Par linéarité de l'espérance (propriété valable sans hypothèse d'indépendance) :

$E (T) = E (T_{1} + T_{2}) = E (T_{1}) + E (T_{2}) = 40 + 60 = 100.$

Interprétation : sur l'ensemble du week-end, une personne attend en moyenne $100$ minutes, soit $1$ h $40$ min, avant d'accéder aux activités sportives.

2. Les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes : la variance de leur somme est la somme des variances,

$V (T) = V (T_{1} + T_{2}) = V (T_{1}) + V (T_{2}) .$

La variance est le carré de l'écart-type : $V (T_{1}) = σ (T_{1})^{2} = 1 0^{2} = 100$ et $V (T_{2}) = σ (T_{2})^{2} = 1 6^{2} = 256$ . Ainsi

$V (T) = 100 + 256 = 356.$

Ce que le correcteur attend : l'hypothèse d'indépendance doit être citée, c'est elle qui autorise l'additivité de la variance ; on additionne les variances, jamais les écarts-types ( $10 + 16 = 26$ et $2 6^{2} = 676 \neq = 356$ ).

3. Traduisons l'événement « $T$ est strictement compris entre $60$ et $140$ » à l'aide de l'espérance $E (T) = 100$ :

$60 < T < 140 ⟺ 60 - 100 < T - 100 < 140 - 100 ⟺ - 40 < T - 100 < 40,$

c'est-à-dire $∣ T - 100∣ < 40$ . L'événement cherché est donc ${∣ T - E (T) ∣ < 40}$ , dont le contraire est ${∣ T - E (T) ∣ \geq 40}$ .

La variable $T$ admet une espérance $E (T) = 100$ et une variance $V (T) = 356$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec $ε = 40 > 0$ :

$P (∣ T - E (T) ∣ \geq 40) \leq \frac{V ( T )}{4 0 ^{2}} = \frac{356}{1600} = 0, 2225.$

En passant à l'événement contraire :

$P (60 < T < 140) = P (∣ T - 100∣ < 40) = 1 - P (∣ T - 100∣ \geq 40) \geq 1 - 0, 2225 = 0, 7775.$

Comme $0, 7775 > 0, 77$ , la probabilité que le temps total d'attente d'une personne choisie au hasard soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est bien supérieure à $0, 77$ .

Ce que le correcteur attend : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de l'événement « $∣ T - E (T) ∣ \geq ε$ » (les queues) ; pour minorer la probabilité de l'intervalle, on passe au contraire, et la réécriture $60 < T < 140 ⟺ ∣ T - 100∣ < 40$ n'est possible que parce que $100$ est le centre de l'intervalle $] 60; 140 [$ . On ne connaît pas la loi de $T$ : l'inégalité fournit une minoration, pas la valeur exacte.

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