Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 2 — Exercice 2 : Géométrie dans l'espace : droites sécantes, plan, projeté orthogonal

Partie A

1. Un point commun à $d$ et $d^{\prime }$ correspond à un couple de paramètres $(t;s)$ pour lequel les deux représentations donnent les mêmes coordonnées :

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}+2t=s\\ 2+t=\frac{3}{2}+s\\ 3-t=3-2s\end{array}$$

La troisième équation donne $t=2s$. En reportant dans la première : $\frac{3}{2}+4s=s$, soit $3s=-\frac{3}{2}$, d'où $s=-\frac{1}{2}$ puis $t=2s=-1$. Il reste à contrôler la deuxième équation avec ces valeurs : $2+t=2-1=1$ et $\frac{3}{2}+s=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ : elle est vérifiée. Le système admet donc une unique solution, $(t;s)=\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$.

Le point correspondant s'obtient avec $t=-1$ dans $d$ :

$$x=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2},y=2-1=1,z=3+1=4,$$

et l'on retrouve les mêmes coordonnées avec $s=-\frac{1}{2}$ dans $d^{\prime }$ : $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$, $z=3+1=4$. Les droites $d$ et $d^{\prime }$ ont donc un unique point commun, $S\left(-\frac{1}{2};1;4\right)$ : elles sont sécantes en $S$.

Remarque. Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ de $d$ et $\overrightarrow{u^{\prime }}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ de $d^{\prime }$ ne sont pas colinéaires (les premières coordonnées imposeraient $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{u^{\prime }}$, mais $1\ne 2\times 1$) : les droites ne sont ni parallèles ni confondues, ce qui confirme qu'elles sont sécantes.

2.a. Calculons deux vecteurs du plan $(ABC)$ :

$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1-(-1)\\ -1-2\\ 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\text{et}\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}1-(-1)\\ 1-2\\ 1-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right).$$

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : s'il existait un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$, la troisième coordonnée donnerait $0=\lambda$, puis la première $2=0$, ce qui est absurde. Les points $A$, $B$, $C$ définissent donc bien un plan, dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs directeurs.

Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec l'expression analytique :

$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=1\times 2+2\times (-3)+4\times 1=2-6+4=0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 2+2\times (-1)+4\times 0=2-2+0=0.$$

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ (non nul) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c'est un vecteur normal au plan $(ABC)$.