Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Vrai/Faux : limite de suite, récurrence, convexité

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel $n$ par :

$u_{n} = \frac{1 + 5 ^{n}}{2 + 3 ^{n}} .$

Affirmation 1 : La suite $(u_{n})$ converge vers $\frac{5}{3}$ .

2. On considère la suite $(w_{n})$ définie par :

$w_{0} = 0 et, pour tout entier naturel n, w_{n + 1} = 3 w_{n} - 2 n + 3.$

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$ , $w_{n} \geq n$ .

3. On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) ci-dessous. On précise que :

$T$ est la tangente à $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse $8$ ;
l'axe des abscisses est la tangente horizontale à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .

Fig. 1

Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.

4. Affirmation 4 : Pour tout réel $x > 0$ , $ln (x) - x + 1 \leq 0$ , où $ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Corrigé

1. Affirmation 1 : FAUSSE.

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ (car $5^{n} \to + \infty$ et $3^{n} \to + \infty$ , suites géométriques de raisons $5 > 1$ et $3 > 1$ ) : la limite est une forme indéterminée « $\frac{\infty}{\infty}$ », que l'on lève en factorisant chaque membre par son terme prépondérant :

$u_{n} = \frac{5 ^{n} ( \frac{1}{5 ^{n}} + 1 )}{3 ^{n} ( \frac{2}{3 ^{n}} + 1 )} = (\frac{5}{3})^{n} \times \frac{1 + ( \frac{1}{5} ) ^{n}}{1 + 2 ( \frac{1}{3} ) ^{n}} .$

$(\frac{1}{5})^{n} \to 0$ et $(\frac{1}{3})^{n} \to 0$ car $- 1 < \frac{1}{5} < 1$ et $- 1 < \frac{1}{3} < 1$ ; par somme puis quotient, $\frac{1 + ( \frac{1}{5} ) ^{n}}{1 + 2 ( \frac{1}{3} ) ^{n}} \to \frac{1}{1} = 1$ ;
$(\frac{5}{3})^{n} \to + \infty$ car $\frac{5}{3} > 1$ .

Par produit (limite d'un produit dont un facteur tend vers $+ \infty$ et l'autre vers $1 > 0$ ) :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty.$

La suite $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ : elle ne converge pas vers $\frac{5}{3}$ . L'affirmation 1 est fausse.

Ce que le correcteur attend : le piège est de « simplifier » $\frac{1 + 5 ^{n}}{2 + 3 ^{n}}$ comme s'il s'agissait de $\frac{1 + 5 n}{2 + 3 n}$ , dont la limite serait $\frac{5}{3}$ . Ici les exposants portent sur $n$ : c'est le quotient des termes prépondérants $\frac{5 ^{n}}{3 ^{n}} = (\frac{5}{3})^{n}$ qui gouverne la limite. Les premiers termes, $u_{0} = \frac{2}{3}$ , $u_{1} = \frac{6}{5} = 1, 2$ , $u_{2} = \frac{26}{11} \approx 2, 36$ , $u_{5} \approx 12, 8$ , dépassent d'ailleurs vite $\frac{5}{3}$ .

2. Affirmation 2 : VRAIE.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété $P (n)$ : « $w_{n} \geq n$ » est vraie.

Initialisation. Pour $n = 0$ , $w_{0} = 0 \geq 0$ : $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P (n)$ soit vraie, c'est-à-dire $w_{n} \geq n$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $w_{n + 1} \geq n + 1$ . En multipliant l'hypothèse de récurrence par $3 > 0$ , on obtient $3 w_{n} \geq 3 n$ , puis en ajoutant $- 2 n + 3$ aux deux membres :

$w_{n + 1} = 3 w_{n} - 2 n + 3 \geq 3 n - 2 n + 3 = n + 3.$

Or $n + 3 \geq n + 1$ , donc $w_{n + 1} \geq n + 1$ : $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n} \geq n$ . L'affirmation 2 est vraie.

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