Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Vrai/Faux : limite de suite, récurrence, convexité

1. Affirmation 1 : FAUSSE.

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ (car $5^n\to +\infty$ et $3^n\to +\infty$, suites géométriques de raisons $5>1$ et $3>1$) : la limite est une forme indéterminée « $\frac{\infty }{\infty }$ », que l'on lève en factorisant chaque membre par son terme prépondérant :

$$u_n=\frac{5^n\left(\frac{1}{5^n}+1\right)}{3^n\left(\frac{2}{3^n}+1\right)}={\left(\frac{5}{3}\right)}^n\times \frac{1+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{1+2{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}.$$

• ${\left(\frac{1}{5}\right)}^n\to 0$ et ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$ car $-1<\frac{1}{5}<1$ et $-1<\frac{1}{3}<1$ ; par somme puis quotient, $\frac{1+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{1+2{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}\to \frac{1}{1}=1$ ;
• ${\left(\frac{5}{3}\right)}^n\to +\infty$ car $\frac{5}{3}>1$.

Par produit (limite d'un produit dont un facteur tend vers $+\infty$ et l'autre vers $1>0$) :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty .$$

La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ : elle ne converge pas vers $\frac{5}{3}$. L'affirmation 1 est fausse.

Ce que le correcteur attend : le piège est de « simplifier » $\frac{1+5^n}{2+3^n}$ comme s'il s'agissait de $\frac{1+5n}{2+3n}$, dont la limite serait $\frac{5}{3}$. Ici les exposants portent sur $n$ : c'est le quotient des termes prépondérants $\frac{5^n}{3^n}={\left(\frac{5}{3}\right)}^n$ qui gouverne la limite. Les premiers termes, $u_0=\frac{2}{3}$, $u_1=\frac{6}{5}=1,2$, $u_2=\frac{26}{11}\approx 2,36$, $u_5\approx 12,8$, dépassent d'ailleurs vite $\frac{5}{3}$.

2. Affirmation 2 : VRAIE.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, la propriété $P(n)$ : « $w_n\ge n$ » est vraie.

Initialisation. Pour $n=0$, $w_0=0\ge 0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire $w_n\ge n$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $w_{n+1}\ge n+1$. En multipliant l'hypothèse de récurrence par $3>0$, on obtient $3w_n\ge 3n$, puis en ajoutant $-2n+3$ aux deux membres :

$$w_{n+1}=3w_n-2n+3\ge 3n-2n+3=n+3.$$

Or $n+3\ge n+1$, donc $w_{n+1}\ge n+1$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $w_n\ge n$. L'affirmation 2 est vraie.

Contrôle : $w_1=3$, $w_2=10$, $w_3=29$, $w_4=84$ sont bien supérieurs à $1$, $2$, $3$, $4$.

3. Affirmation 3 : FAUSSE.

D'après le cours, une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa courbe est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Si $f$ était convexe sur $]0;+\infty [$, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ serait donc au-dessus de la tangente $T$ au point $A$ sur tout $]0;+\infty [$.

Or ce n'est pas ce que montre le graphique : entre les abscisses $1$ et $8$, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est en dessous de la droite $T$. Par exemple, au point d'abscisse $3$, on lit sur ${\mathcal{C}}_f$ une ordonnée d'environ $1,2$ alors que le point de $T$ de même abscisse a une ordonnée d'environ $1,7$ ; au point d'abscisse $1$, la courbe est sur l'axe (ordonnée $0$) alors que $T$ passe à environ $0,7$ au-dessus. La courbe est aussi en dessous de $T$ à droite de $A$ (à l'abscisse $12$, environ $6,2$ pour ${\mathcal{C}}_f$ contre $6,4$ pour $T$). La courbe n'est donc pas au-dessus de sa tangente $T$ : $f$ n'est pas convexe sur $]0;+\infty [$. L'affirmation 3 est fausse.

Complément. La courbe est au-dessus de sa tangente horizontale au point d'abscisse $1$ (elle reste au-dessus de l'axe des abscisses) mais en dessous de sa tangente $T$ au point $A$ : la fonction est convexe au voisinage de $1$ et concave au voisinage de $8$, elle change de concavité entre les deux (point d'inflexion). On peut aussi le voir avec les sécantes : la corde joignant le point $(1;0)$ au point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $12$ (ordonnée environ $6,2$) passe, à l'abscisse $6$, à l'ordonnée $\frac{5\times 6,2}{11}\approx 2,8$, alors que la courbe y est à environ $3,2$ : cette corde est en dessous de la courbe, alors qu'une fonction convexe a toutes ses cordes au-dessus de sa courbe.

Ce que le correcteur attend : une justification appuyée sur une propriété du cours (courbe au-dessus des tangentes, ou cordes au-dessus de la courbe, ou $f^{\prime }$ croissante) et une lecture graphique précise (des abscisses citées), pas seulement « ça ne ressemble pas à une fonction convexe ».

4. Affirmation 4 : VRAIE.

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\ln (x)-x+1$. Elle est dérivable sur $]0;+\infty [$ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout $x>0$ :

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

Comme $x>0$, le signe de $g^{\prime }(x)$ est celui de $1-x$ : $g^{\prime }(x)>0$ pour $0<x<1$, $g^{\prime }(1)=0$ et $g^{\prime }(x)<0$ pour $x>1$. La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty [$ : elle admet un maximum en $x=1$, qui vaut

$$g(1)=\ln (1)-1+1=0.$$

Ainsi, pour tout réel $x>0$, $g(x)\le g(1)=0$, c'est-à-dire $\ln (x)-x+1\le 0$. L'affirmation 4 est vraie (avec égalité seulement pour $x=1$).

Autre lecture. L'inégalité $\ln (x)\le x-1$ exprime que la courbe de $\ln$, fonction concave sur $]0;+\infty [$ (car ${\ln }^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$), est en dessous de sa tangente au point d'abscisse $1$, d'équation $y=x-1$.

Ce que le correcteur attend : l'étude complète du signe de la dérivée et la valeur du maximum $g(1)=0$ ; affirmer « $\ln (x)\le x-1$, c'est du cours » sans justification ne rapporte rien.