Corrigé bac mathématiques 2025 Métropole jour 2 — Exercice 4 : Freinage d'un chariot : équation différentielle et étude de fonction

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$ , à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $[0; + \infty [$ .

On a ainsi $d (0) = 0$ .

Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de définition. On note $d^{'}$ sa fonction dérivée.

Partie A

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :

la courbe représentative $C_{d}$ de la fonction $d$ ;
la tangente $T$ à la courbe $C_{d}$ au point $A$ d'abscisse $4, 7$ ;
l'asymptote $Δ$ à $C_{d}$ en $+ \infty$ .

Fig. 2

Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.

Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.

D'après ce modèle :

1. Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$ m dans la zone de freinage ?

2. Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?

3. Que vaut $d^{'} (4, 7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On rappelle que $t$ désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde (m.s $^{- 1}$ ), en fonction de $t$ , par une fonction $v$ définie sur $[0; + \infty [$ .

On admet que :

la fonction $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v^{'}$ sa fonction dérivée ;
la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) :

$y^{'} + 0, 6 y = e^{- 0, 6 t},$

où $y$ est une fonction inconnue et où $y^{'}$ est la fonction dérivée de $y$ .

On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à $12$ m.s $^{- 1}$ , c'est-à-dire $v (0) = 12$ .

1.a. On considère l'équation différentielle (E') : $y^{'} + 0, 6 y = 0$ .

Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E') sur $[0; + \infty [$ .

1.b. Soit $g$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $g (t) = t e^{- 0, 6 t}$ .

Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle (E).

1.c. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E) sur $[0; + \infty [$ .

1.d. En déduire que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , on a :

$v (t) = (12 + t) e^{- 0, 6 t} .$

2. Dans cette question, on étudie la fonction $v$ sur $[0; + \infty [$ .

2.a. Montrer que pour tout réel $t \in [0; + \infty [$ , $v^{'} (t) = (- 6, 2 - 0, 6 t) e^{- 0, 6 t}$ .

2.b. En admettant que :

$v (t) = 12 e^{- 0, 6 t} + \frac{1}{0 , 6} \times \frac{0 , 6 t}{e ^{0, 6 t}},$

déterminer la limite de $v$ en $+ \infty$ .

2.c. Étudier le sens de variation de la fonction $v$ et dresser son tableau de variation complet. Justifier.

2.d. Montrer que l'équation $v (t) = 1$ admet une solution unique $α$ , dont on donnera une valeur approchée au dixième.

3. Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à $1$ mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet. Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.

Partie C

On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ :

$v (t) = (12 + t) e^{- 0, 6 t} .$

On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $[0; + \infty [$ :

$d (t) = \int_{0}^{t} v (x) d x .$

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants $0$ et $t$ est donnée par :

$d (t) = e^{- 0, 6 t} (- \frac{5}{3} t - \frac{205}{9}) + \frac{205}{9} .$

2. On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à $1$ mètre par seconde. Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.

Corrigé

Partie A

Lectures graphiques (aucune justification n'est attendue) ; le quadrillage fin est gradué de $0, 2$ en $0, 2$ .

1. On cherche l'abscisse du point de $C_{d}$ d'ordonnée $15$ . L'horizontale $y = 15$ coupe la courbe au point d'abscisse $2$ environ : le chariot a parcouru $15$ m au bout d'environ $2$ secondes.

2. La distance parcourue $d (t)$ augmente avec $t$ et se rapproche, sans la dépasser, de l'asymptote horizontale $Δ$ , dont l'ordonnée se lit à environ $22, 8$ . La distance totale parcourue dans la zone de freinage reste donc inférieure à $22, 8$ m : il faut prévoir une zone de freinage d'une longueur minimale d'environ $23$ m.

3. Le nombre dérivé $d^{'} (4, 7)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $C_{d}$ au point $A$ d'abscisse $4, 7$ . Sur le graphique, $T$ passe par le point $A (4, 7; 21)$ et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $16, 3$ environ ; elle atteint l'ordonnée $24, 3$ environ pour l'abscisse $8$ . Son coefficient directeur vaut donc environ

$d^{'} (4, 7) \approx \frac{24 , 3 - 16 , 3}{8 - 0} = 1.$

On peut aussi n'utiliser que le point $A$ et l'ordonnée à l'origine : $\frac{21 - 16 , 3}{4 , 7 - 0} = \frac{4 , 7}{4 , 7} = 1$ . Ainsi $d^{'} (4, 7) \approx 1$ .

Interprétation : $d$ étant la distance parcourue, sa dérivée $d^{'}$ est la vitesse instantanée du chariot. À l'instant $t = 4, 7$ s, le chariot roule à environ $1$ m.s $^{- 1}$ .

Partie B

1.a. L'équation (E') s'écrit $y^{'} = - 0, 6 y$ : c'est une équation de la forme $y^{'} = a y$ avec $a = - 0, 6$ . D'après le cours, ses solutions sur $[0; + \infty [$ sont les fonctions

$t ⟼ C e^{- 0, 6 t}, C \in R .$

1.b. La fonction $g : t \mapsto t e^{- 0, 6 t}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ comme produit de fonctions dérivables, et, avec $(u w)^{'} = u^{'} w + u w^{'}$ et $(e^{- 0, 6 t})^{'} = - 0, 6 e^{- 0, 6 t}$ :

$g^{'} (t) = 1 \times e^{- 0, 6 t} + t \times (- 0, 6) e^{- 0, 6 t} = (1 - 0, 6 t) e^{- 0, 6 t} .$

Alors, pour tout $t \geq 0$ :

$g^{'} (t) + 0, 6 g (t) = (1 - 0, 6 t) e^{- 0, 6 t} + 0, 6 t e^{- 0, 6 t} = (1 - 0, 6 t + 0, 6 t) e^{- 0, 6 t} = e^{- 0, 6 t} .$

La fonction $g$ vérifie (E) : c'est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

1.c. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0; + \infty [$ . Par linéarité de la dérivation,

$(f - g)^{'} + 0, 6 (f - g) = (f^{'} + 0, 6 f) - (g^{'} + 0, 6 g) = (f^{'} + 0, 6 f) - e^{- 0, 6 t} .$

Ainsi $f$ est solution de (E) si et seulement si $f^{'} + 0, 6 f = e^{- 0, 6 t}$ , c'est-à-dire si et seulement si $(f - g)^{'} + 0, 6 (f - g) = 0$ , autrement dit si et seulement si $f - g$ est solution de (E'). D'après 1.a, cela équivaut à l'existence d'un réel $C$ tel que $f - g = C e^{- 0, 6 t}$ . Les solutions de (E) sur $[0; + \infty [$ sont donc les fonctions

$t ⟼ t e^{- 0, 6 t} + C e^{- 0, 6 t} = (t + C) e^{- 0, 6 t}, C \in R .$

(Solution générale de (E) $=$ solution particulière $+$ solution générale de l'équation homogène (E').)

1.d. La fonction $v$ est solution de (E) : il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t \geq 0$ , $v (t) = (t + C) e^{- 0, 6 t}$ . La condition initiale $v (0) = 12$ donne $(0 + C) e^{0} = C = 12$ . Par conséquent, pour tout $t \in [0; + \infty [$ ,

$v (t) = (12 + t) e^{- 0, 6 t} .$

2.a. La fonction $v$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ comme produit de $t \mapsto 12 + t$ (dérivée $1$ ) et de $t \mapsto e^{- 0, 6 t}$ (dérivée $- 0, 6 e^{- 0, 6 t}$ ) :

$v^{'} (t) = 1 \times e^{- 0, 6 t} + (12 + t) \times (- 0, 6) e^{- 0, 6 t} = (1 - 7, 2 - 0, 6 t) e^{- 0, 6 t} = (- 6, 2 - 0, 6 t) e^{- 0, 6 t} .$

(On peut aussi utiliser (E) : $v^{'} = e^{- 0, 6 t} - 0, 6 v = e^{- 0, 6 t} - 0, 6 (12 + t) e^{- 0, 6 t}$ , ce qui redonne le même résultat.)

2.b. L'écriture admise est bien égale à $v (t)$ , puisque $\frac{1}{0 , 6} \times \frac{0 , 6 t}{e ^{0, 6 t}} = t e^{- 0, 6 t}$ . Étudions chaque terme quand $t \to + \infty$ :

$t \to + \infty lim (- 0, 6 t) = - \infty$ et $X \to - \infty lim e^{X} = 0$ , donc, par composition, $t \to + \infty lim e^{- 0, 6 t} = 0$ et $t \to + \infty lim 12 e^{- 0, 6 t} = 0$ ;
posons $X = 0, 6 t$ ; quand $t \to + \infty$ , $X \to + \infty$ et $\frac{0 , 6 t}{e ^{0, 6 t}} = \frac{X}{e ^{X}}$ . Par croissances comparées, $X \to + \infty lim \frac{e ^{X}}{X} = + \infty$ , donc $X \to + \infty lim \frac{X}{e ^{X}} = 0$ et, par composition, $t \to + \infty lim \frac{0 , 6 t}{e ^{0, 6 t}} = 0$ ; le produit par la constante $\frac{1}{0 , 6}$ tend aussi vers $0$ .

Par somme, $t \to + \infty lim v (t) = 0$ : la vitesse du chariot tend vers $0$ , ce qui est cohérent avec un freinage.

Ce que le correcteur attend : l'écriture directe $(12 + t) e^{- 0, 6 t}$ est une forme indéterminée « $\infty \times 0$ » ; c'est l'écriture admise, avec la croissance comparée de $X$ et $e^{X}$ , qui lève l'indétermination.

2.c. Pour tout $t \geq 0$ , $e^{- 0, 6 t} > 0$ : le signe de $v^{'} (t)$ est celui de $- 6, 2 - 0, 6 t$ . Or, pour $t \geq 0$ , $- 0, 6 t \leq 0$ donc $- 6, 2 - 0, 6 t \leq - 6, 2 < 0$ . Ainsi $v^{'} (t) < 0$ sur $[0; + \infty [$ et la fonction $v$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ . Avec $v (0) = 12 e^{0} = 12$ et $t \to + \infty lim v (t) = 0$ :

$t$	$0$		$+ \infty$
$v^{'} (t)$		$-$
$v (t)$	$12$	$↘$	$0$

La valeur $0$ à droite est une limite, non atteinte : la vitesse reste strictement positive.

2.d. Sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , la fonction $v$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec $v (0) = 12$ et $t \to + \infty lim v (t) = 0$ . Comme $0 < 1 < 12$ , le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection, étendu à l'intervalle non borné $[0; + \infty [$ en remplaçant la valeur en la borne infinie par la limite) assure que l'équation $v (t) = 1$ admet une unique solution $α$ dans $[0; + \infty [$ .

Valeur approchée. À la calculatrice,

$v (4) = 16 e^{- 2, 4} \approx 1, 45 > 1 et v (5) = 17 e^{- 3} \approx 0, 85 < 1,$

donc, $v$ étant strictement décroissante, $4 < α < 5$ . En affinant :

$v (4, 6) = 16, 6 e^{- 2, 76} \approx 1, 051 > 1 et v (4, 7) = 16, 7 e^{- 2, 82} \approx 0, 995 < 1,$

d'où $4, 6 < α < 4, 7$ ; enfin $v (4, 65) = 16, 65 e^{- 2, 79} \approx 1, 023 > 1$ , donc $4, 65 < α < 4, 7$ et $α \approx 4, 7$ au dixième. Une valeur plus précise est $α \approx 4, 69$ .

3. Le système d'arrêt se déclenche dès que $v (t) \leq 1$ . La fonction $v$ étant strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ avec $v (α) = 1$ :

$v (t) \leq 1 ⟺ v (t) \leq v (α) ⟺ t \geq α .$

La vitesse est strictement supérieure à $1$ m.s $^{- 1}$ pour $t < α$ , et inférieure ou égale à $1$ m.s $^{- 1}$ à partir de l'instant $α$ . Le système mécanique entre donc en action au bout de $α \approx 4, 7$ secondes (environ $4, 69$ s) après l'entrée dans la zone de freinage. On retrouve la lecture graphique $d^{'} (4, 7) \approx 1$ de la partie A.

Ce que le correcteur attend : le passage de « $v (t) \leq 1$ » à « $t \geq α$ » se justifie par la stricte décroissance de $v$ ; c'est ce qui garantit que le dispositif ne se déclenche pas avant $α$ et se déclenche à partir de $α$ .

Partie C

1. On a $d (t) = \int_{0}^{t} (12 + x) e^{- 0, 6 x} d x$ . Pour appliquer la formule d'intégration par parties $\int_{0}^{t} u^{'} (x) w (x) d x = [u (x) w (x)]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} u (x) w^{'} (x) d x$ , posons :

$⎩ ⎨ ⎧ u^{'} (x) = e^{- 0, 6 x} w (x) = 12 + x ⟹ u (x) = - \frac{1}{0 , 6} e^{- 0, 6 x} = - \frac{5}{3} e^{- 0, 6 x}, ⟹ w^{'} (x) = 1.$

Les fonctions $u$ et $w$ sont dérivables sur $[0; t]$ et leurs dérivées y sont continues. Par intégration par parties :

$d (t) = [- \frac{5}{3} (12 + x) e^{- 0, 6 x}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} (- \frac{5}{3} e^{- 0, 6 x}) \times 1 d x = [- \frac{5}{3} (12 + x) e^{- 0, 6 x}]_{0}^{t} + \frac{5}{3} \int_{0}^{t} e^{- 0, 6 x} d x .$

Le crochet vaut

$[- \frac{5}{3} (12 + x) e^{- 0, 6 x}]_{0}^{t} = - \frac{5}{3} (12 + t) e^{- 0, 6 t} + \frac{5}{3} \times 12 \times e^{0} = - \frac{5}{3} (12 + t) e^{- 0, 6 t} + 20,$

et, une primitive de $x \mapsto e^{- 0, 6 x}$ étant $x \mapsto - \frac{5}{3} e^{- 0, 6 x}$ ,

$\frac{5}{3} \int_{0}^{t} e^{- 0, 6 x} d x = \frac{5}{3} [- \frac{5}{3} e^{- 0, 6 x}]_{0}^{t} = \frac{5}{3} (- \frac{5}{3} e^{- 0, 6 t} + \frac{5}{3}) = - \frac{25}{9} e^{- 0, 6 t} + \frac{25}{9} .$

En regroupant, et avec $\frac{5}{3} \times 12 = 20 = \frac{180}{9}$ :

$d (t) = e^{- 0, 6 t} (- 20 - \frac{5}{3} t - \frac{25}{9}) + 20 + \frac{25}{9} = e^{- 0, 6 t} (- \frac{5}{3} t - \frac{205}{9}) + \frac{205}{9} .$

C'est bien l'expression annoncée. Contrôle : $d (0) = - \frac{205}{9} + \frac{205}{9} = 0$ , conformément à l'énoncé, et $t \to + \infty lim d (t) = \frac{205}{9} \approx 22, 78$ (par croissances comparées, $t e^{- 0, 6 t} \to 0$ ) : on retrouve l'asymptote $Δ$ lue à $22, 8$ en partie A, et la longueur minimale de $23$ m.

Ce que le correcteur attend : le choix « on dérive $12 + x$ , on primitive l'exponentielle » (l'autre choix ne simplifie rien), le signe du crochet et la constante $\frac{5}{3} \times 12 = 20$ qu'il ne faut pas oublier lorsqu'on évalue en $0$ .

2. Le dispositif se déclenche à l'instant $α$ (question B.3), où $v (α) = 1$ . La distance parcourue avant ce déclenchement est $d (α)$ . Comme $v (α) = (12 + α) e^{- 0, 6 α} = 1$ , on a $e^{- 0, 6 α} = \frac{1}{12 + α}$ , ce qui permet d'écrire

$d (α) = \frac{205}{9} - \frac{\frac{5}{3} α + \frac{205}{9}}{12 + α} .$

Avec la valeur précise $α \approx 4, 6915$ :

$d (α) \approx \frac{205}{9} - \frac{7 , 819 + 22 , 778}{16 , 6915} \approx 22, 778 - 1, 833 \approx 20, 945,$

soit $d (α) \approx 20, 94$ m. En utilisant directement la valeur arrondie $α \approx 4, 7$ dans l'expression de $d$ :

$d (4, 7) = e^{- 2, 82} (- \frac{5}{3} \times 4, 7 - \frac{205}{9}) + \frac{205}{9} \approx 0, 0596 \times (- 30, 61) + 22, 778 \approx 20, 95.$

Selon ce modèle, le chariot parcourt donc environ $20, 9$ m dans la zone de freinage avant le déclenchement du dispositif d'arrêt : $20, 94$ m avec la valeur précise de $α$ , $20, 95$ m avec $α \approx 4, 7$ . On retrouve l'ordonnée du point $A$ (environ $21$ ) lue sur la figure.

Ce que le correcteur attend : identifier que la distance cherchée est $d (α)$ et non $d (1)$ (le seuil $1$ porte sur la vitesse, pas sur le temps) ; la deuxième décimale dépend de la précision retenue pour $α$ , et le correcteur accepte $20, 95$ obtenu avec $α \approx 4, 7$ .

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