Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 1 — Exercice 1 : Abonnements : arbre, loi binomiale et variable aléatoire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

25 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l'abonnement « Famille » ;
45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
30 % des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
12 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants :

$E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant » ;
$C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique » ;
$F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille » ;
$H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

Partie A

1. Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :

2. Calculer la valeur exacte de $P (E \cap H)$ .

3. Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0, 4125$ .

4. Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0, 4125$ .

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.

3. Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».

3.a. Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_{n} = 1 - 0, 587 5^{n}$ .

3.b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99, 9%$ .

Partie C

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

abonnement « Étudiant » : 5 euros par mois ;
abonnement « Classique » : 10 euros par mois ;
abonnement « Famille » : 16 euros par mois ;
option « Écoute hors-ligne » : 2 euros de plus par mois quel que soit l'abonnement choisi.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$ .

2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ .

3. Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10, 475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

4. À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$ , arrondie au centième.

5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$ .

5.a. Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$ .

5.b. Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50 % de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros. Justifier cette affirmation.

Corrigé

Partie A

1. Les trois événements $E$ , $C$ et $F$ forment une partition de l'univers : un abonné choisit exactement un des trois abonnements. La somme des probabilités des trois branches issues du premier nœud vaut donc $1$ , d'où

$P (C) = 1 - P (E) - P (F) = 1 - 0, 25 - 0, 15 = 0, 60.$

Les pourcentages « 45 % des abonnés Étudiant » et « 30 % des abonnés Classique » sont des probabilités conditionnelles : $P_{E} (H) = 0, 45$ et $P_{C} (H) = 0, 30$ , d'où $P_{E} (H) = 0, 55$ et $P_{C} (H) = 0, 70$ .

En revanche, « 12 % des abonnés ont choisi Famille et ont activé l'option » est la probabilité d'une intersection : $P (F \cap H) = 0, 12$ . Comme $P (F) = 0, 15 \neq = 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne

$P_{F} (H) = \frac{P ( F \cap H )}{P ( F )} = \frac{0 , 12}{0 , 15} = \frac{12}{15} = 0, 80, P_{F} (H) = 1 - 0, 80 = 0, 20.$

L'arbre complété est le suivant :

Ce que le correcteur attend : distinguer les données conditionnelles (« parmi les abonnés Étudiant ») des données d'intersection (« ont choisi Famille et ont activé ») ; la valeur $0, 12$ ne se place pas sur une branche, elle sert à la calculer.

2. La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités des branches qui le composent :

$P (E \cap H) = P (E) \times P_{E} (H) = 0, 25 \times 0, 45 = 0, 1125 = \frac{9}{80} .$

3. Les événements $E$ , $C$ et $F$ forment une partition de l'univers, et ils sont tous de probabilité non nulle. D'après la formule des probabilités totales :

$P (H) = P (E \cap H) + P (C \cap H) + P (F \cap H) .$

Or $P (C \cap H) = P (C) \times P_{C} (H) = 0, 60 \times 0, 30 = 0, 18$ et $P (F \cap H) = 0, 12$ est donné par l'énoncé. Donc

$P (H) = 0, 1125 + 0, 18 + 0, 12 = 0, 4125.$

La probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est bien $0, 4125$ .

4. On sait que l'abonné a activé l'option : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{H} (E)$ . Comme $P (H) = 0, 4125 \neq = 0$ :

$P_{H} (E) = \frac{P ( E \cap H )}{P ( H )} = \frac{0 , 1125}{0 , 4125} = \frac{1125}{4125} = \frac{3}{11} \approx 0, 272727 \dots$

Arrondie au millième, cette probabilité vaut $0, 273$ .

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre $P_{H} (E)$ avec $P_{E} (H) = 0, 45$ lu sur l'arbre : l'arbre donne les probabilités « sachant l'abonnement », la question demande la probabilité « sachant l'option ».

Partie B

1. On répète $8$ fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès est « l'abonné a activé l'option », de probabilité $0, 4125$ . La variable $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres

$n = 8 et p = 0, 4125, c’est- a ˋ -dire X \sim B (8; 0, 4125) .$

2. « Aucun des huit abonnés n'a activé l'option » est l'événement ${X = 0}$ . D'après la formule de la loi binomiale, avec $(0 8) = 1$ :

$P (X = 0) = (0 8) \times 0, 412 5^{0} \times (1 - 0, 4125)^{8} = 0, 587 5^{8} \approx 0, 014193.$

Arrondie au millième, cette probabilité vaut $0, 014$ .

3.a. Pour un échantillon de $n$ abonnés, notons $X_{n}$ le nombre d'abonnés ayant activé l'option : pour la même raison qu'à la question 1, $X_{n}$ suit la loi binomiale $B (n; 0, 4125)$ . L'événement « au moins un abonné a activé l'option » est l'événement contraire de « aucun abonné n'a activé l'option », donc

$q_{n} = P (X_{n} ⩾ 1) = 1 - P (X_{n} = 0) = 1 - (0 n) \times 0, 412 5^{0} \times (1 - 0, 4125)^{n} = 1 - 0, 587 5^{n} .$

3.b. On cherche le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $q_{n} ⩾ 0, 999$ :

$1 - 0, 587 5^{n} ⩾ 0, 999 ⟺ 0, 587 5^{n} ⩽ 0, 001.$

La fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ et les deux membres sont strictement positifs ; l'inégalité équivaut donc à $ln (0, 587 5^{n}) ⩽ ln (0, 001)$ , c'est-à-dire $n ln (0, 5875) ⩽ ln (0, 001)$ . Comme $0 < 0, 5875 < 1$ , on a $ln (0, 5875) < 0$ : en divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change :

$n ⩾ \frac{ln ( 0 , 001 )}{ln ( 0 , 5875 )} \approx \frac{- 6 , 9078}{- 0 , 5319} \approx 12, 99.$

Le plus petit entier qui convient est donc $n = 13$ . On le contrôle : $q_{12} = 1 - 0, 587 5^{12} \approx 0, 99831 < 0, 999$ tandis que $q_{13} = 1 - 0, 587 5^{13} \approx 0, 99901 ⩾ 0, 999$ .

Ce que le correcteur attend : le changement de sens de l'inégalité lors de la division par $ln (0, 5875) < 0$ , et une conclusion entière (le quotient $12, 99$ n'est pas la réponse : il faut l'entier immédiatement supérieur).

Partie C

1. Le montant payé est celui de l'abonnement, augmenté de $2$ euros si l'option est activée. Les six valeurs possibles de $Y$ sont donc

$5; 7; 10; 12; 16; 18.$

2. Chaque valeur correspond à un unique chemin de l'arbre de la partie A :

$P (Y = 5) P (Y = 10) P (Y = 16) = P (E \cap H) = 0, 25 \times 0, 55 = 0, 1375, = P (C \cap H) = 0, 60 \times 0, 70 = 0, 42, = P (F \cap H) = 0, 15 \times 0, 20 = 0, 03, P (Y = 7) P (Y = 12) P (Y = 18) = P (E \cap H) = 0, 1125, = P (C \cap H) = 0, 18, = P (F \cap H) = 0, 12.$

D'où la loi de probabilité de $Y$ :

$y_{i}$	$5$	$7$	$10$	$12$	$16$	$18$
$P (Y = y_{i})$	$0, 1375$	$0, 1125$	$0, 42$	$0, 18$	$0, 03$	$0, 12$

La somme de ces six probabilités vaut $1$ , ce qui confirme qu'aucun cas n'a été oublié.

3. L'espérance est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités :

$E (Y) = 5 \times 0, 1375 + 7 \times 0, 1125 + 10 \times 0, 42 + 12 \times 0, 18 + 16 \times 0, 03 + 18 \times 0, 12 = 0, 6875 + 0, 7875 + 4, 2 + 2, 16 + 0, 48 + 2, 16 = 10, 475.$

Interprétation : sur un très grand nombre d'abonnés choisis au hasard, le montant moyen payé chaque mois par un abonné est d'environ $10, 475$ euros. Autrement dit, la plateforme encaisse en moyenne $10, 475$ euros par abonné et par mois.

4. La calculatrice donne $V (Y) = 13, 704375$ , soit $V (Y) \approx 13, 70$ au centième. On le retrouve avec la formule $V (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}$ :

$E (Y^{2}) = 25 \times 0, 1375 + 49 \times 0, 1125 + 100 \times 0, 42 + 144 \times 0, 18 + 256 \times 0, 03 + 324 \times 0, 12 = 3, 4375 + 5, 5125 + 42 + 25, 92 + 7, 68 + 38, 88 = 123, 43,$

puis $V (Y) = 123, 43 - 10, 47 5^{2} = 123, 43 - 109, 725625 = 13, 704375$ .

5.a. La variance est le carré de l'écart-type :

$V (Z) = (σ (Z))^{2} = 2^{2} = 4.$

5.b. L'intervalle $] 6; 12 [$ est centré en $9 = E (Z)$ , à une distance $3$ de chaque côté :

$6 < Z < 12 ⟺ - 3 < Z - 9 < 3 ⟺ ∣ Z - E (Z) ∣ < 3.$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à la variable $Z$ d'espérance $9$ et de variance $4$ avec $ε = 3 > 0$ , donne

$P (∣ Z - 9∣ ⩾ 3) ⩽ \frac{V ( Z )}{3 ^{2}} = \frac{4}{9} .$

En passant à l'événement contraire :

$P (6 < Z < 12) = P (∣ Z - 9∣ < 3) = 1 - P (∣ Z - 9∣ ⩾ 3) ⩾ 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0, 556.$

Comme $\frac{5}{9} \approx 0, 556 ⩾ 0, 5$ , la probabilité que le prix de l'abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros est d'au moins 50 % : l'affirmation du responsable est justifiée.

Ce que le correcteur attend : le passage explicite de l'événement ${6 < Z < 12}$ à son contraire ${∣ Z - 9∣ ⩾ 3}$ avant d'appliquer l'inégalité, et le fait que celle-ci ne suppose rien de la loi de $Z$ — seulement l'existence d'une espérance et d'une variance.

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