Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 1 — Exercice 1 : Abonnements : arbre, loi binomiale et variable aléatoire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

25 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l'abonnement « Famille » ;
45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
30 % des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
12 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants :

$E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant » ;
$C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique » ;
$F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille » ;
$H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

Partie A

1. Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :

2. Calculer la valeur exacte de $P (E \cap H)$ .

3. Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0, 4125$ .

4. Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0, 4125$ .

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.

3. Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».

3.a. Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_{n} = 1 - 0, 587 5^{n}$ .

3.b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99, 9%$ .

Partie C

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

abonnement « Étudiant » : 5 euros par mois ;
abonnement « Classique » : 10 euros par mois ;
abonnement « Famille » : 16 euros par mois ;
option « Écoute hors-ligne » : 2 euros de plus par mois quel que soit l'abonnement choisi.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$ .

2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ .

3. Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10, 475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

4. À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$ , arrondie au centième.

5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$ .

5.a. Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$ .

5.b. Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50 % de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros. Justifier cette affirmation.

Corrigé

Partie A

1. Les trois événements $E$ , $C$ et $F$ forment une partition de l'univers : un abonné choisit exactement un des trois abonnements. La somme des probabilités des trois branches issues du premier nœud vaut donc $1$ , d'où

$P (C) = 1 - P (E) - P (F) = 1 - 0, 25 - 0, 15 = 0, 60.$

Les pourcentages « 45 % des abonnés Étudiant » et « 30 % des abonnés Classique » sont des probabilités conditionnelles : $P_{E} (H) = 0, 45$ et $P_{C} (H) = 0, 30$ , d'où $P_{E} (H) = 0, 55$ et $P_{C} (H) = 0, 70$ .

En revanche, « 12 % des abonnés ont choisi Famille et ont activé l'option » est la probabilité d'une intersection : $P (F \cap H) = 0, 12$ . Comme $P (F) = 0, 15 \neq = 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne

$P_{F} (H) = \frac{P ( F \cap H )}{P ( F )} = \frac{0 , 12}{0 , 15} = \frac{12}{15} = 0, 80, P_{F} (H) = 1 - 0, 80 = 0, 20.$

L'arbre complété est le suivant :

Ce que le correcteur attend : distinguer les données conditionnelles (« parmi les abonnés Étudiant ») des données d'intersection (« ont choisi Famille et ont activé ») ; la valeur $0, 12$ ne se place pas sur une branche, elle sert à la calculer.

2. La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités des branches qui le composent :

$P (E \cap H) = P (E) \times P_{E} (H) = 0, 25 \times 0, 45 = 0, 1125 = \frac{9}{80} .$

3. Les événements $E$ , $C$ et $F$ forment une partition de l'univers, et ils sont tous de probabilité non nulle. D'après la formule des probabilités totales :

$P (H) = P (E \cap H) + P (C \cap H) + P (F \cap H) .$

Or $P (C \cap H) = P (C) \times P_{C} (H) = 0, 60 \times 0, 30 = 0, 18$ et $P (F \cap H) = 0, 12$ est donné par l'énoncé. Donc

$P (H) = 0, 1125 + 0, 18 + 0, 12 = 0, 4125.$

La probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est bien $0, 4125$ .

4. On sait que l'abonné a activé l'option : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{H} (E)$ . Comme $P (H) = 0, 4125 \neq = 0$ :

$P_{H} (E) = \frac{P ( E \cap H )}{P ( H )} = \frac{0 , 1125}{0 , 4125} = \frac{1125}{4125} = \frac{3}{11} \approx 0, 272727 \dots$

Arrondie au millième, cette probabilité vaut $0, 273$ .

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre $P_{H} (E)$ avec $P_{E} (H) = 0, 45$ lu sur l'arbre : l'arbre donne les probabilités « sachant l'abonnement », la question demande la probabilité « sachant l'option ».

Partie B

1. On répète $8$ fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès est « l'abonné a activé l'option », de probabilité $0, 4125$ . La variable $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres

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