Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 1 — Exercice 2 : Perches-soleil : modèle discret (suite) et modèle continu (équa diff)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à $4000$ individus au $1^{er}$ janvier 2025.

Partie A : étude d'un modèle discret

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l'étang par une suite $(u_{n})$ . Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l'étang au $1^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$ .

La suite $(u_{n})$ est définie par :

$u_{0} = 4$ ;
pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1} = 4 - \frac{4}{u _{n}}$ .

On admet que cette suite est bien définie et qu'en particulier pour tout entier $n$ , $u_{n} > 0$ .

1. Calculer le nombre de perches-soleil au $1^{er}$ janvier 2026 donné par ce modèle.

2. On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $h (x) = 4 - \frac{4}{x}$ .

2.a. Justifier que la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

2.b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

$2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 4.$

2.c. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente. On note $ℓ$ sa limite.

2.d. Justifier que $ℓ = 2$ .

2.e. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?

3. On considère le script Python ci-dessous.

3.a. Soit $s$ un réel appartenant à l'intervalle $] 2; 4 [$ . Recopier et compléter ce script de sorte qu'il renvoie, après exécution, le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < s$ .


def population(s) :
    u = 4
    n = 0
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n

3.b. Quelle valeur renvoie la commande population(2.2) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B : étude d'un modèle continu

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du $1^{er}$ janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction $p$ telle que :

la fonction $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ ;
$p (0) = 4$ ;
la fonction $p$ est solution de l'équation différentielle (E) : $y^{'} + y = 2$ , où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ .

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E).

2. En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ est $p (t) = 2 e^{- t} + 2$ .

3. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?

Corrigé

Partie A : étude d'un modèle discret

1. Le $1^{er}$ janvier 2026 correspond à $n = 1$ :

$u_{1} = 4 - \frac{4}{u _{0}} = 4 - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3.$

Les termes de la suite sont exprimés en milliers d'individus : ce modèle prévoit donc $3000$ perches-soleil au $1^{er}$ janvier 2026.

2.a. La fonction $h$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ comme somme d'une constante et du quotient $x \mapsto - \frac{4}{x}$ , dont le dénominateur ne s'annule pas. Pour tout $x > 0$ :

$h^{'} (x) = 0 - 4 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = \frac{4}{x ^{2}} .$

Comme $x^{2} > 0$ , on a $h^{'} (x) > 0$ sur $] 0; + \infty [$ : la fonction $h$ est strictement croissante sur cet intervalle.

2.b. Notons $P (n)$ la propriété « $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 4$ » et raisonnons par récurrence.

Initialisation. On a $u_{0} = 4$ et $u_{1} = 3$ , donc $2 ⩽ 3 ⩽ 4 ⩽ 4$ : la propriété $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P (n)$ soit vraie, c'est-à-dire $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 4$ . Tous ces nombres appartiennent à $] 0; + \infty [$ , intervalle sur lequel $h$ est croissante (question 2.a) : appliquer $h$ à un encadrement en conserve donc l'ordre. On obtient

$h (2) ⩽ h (u_{n + 1}) ⩽ h (u_{n}) ⩽ h (4) .$

Or, par définition de la suite, $h (u_{n}) = u_{n + 1}$ et $h (u_{n + 1}) = u_{n + 2}$ , tandis que

$h (2) = 4 - \frac{4}{2} = 2 et h (4) = 4 - \frac{4}{4} = 3.$

Ainsi $2 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3 ⩽ 4$ , donc $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 4$ .

Ce que le correcteur attend : c'est la croissance de $h$ qui permet d'appliquer $h$ à l'encadrement sans en changer le sens ; avec une fonction décroissante, l'ordre s'inverserait.

2.c. L'encadrement précédent donne, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante. Il donne aussi $u_{n + 1} ⩾ 2$ pour tout $n$ , et $u_{0} = 4 ⩾ 2$ : la suite est minorée par $2$ . D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée est convergente : la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ .

2.d. La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ , donc la suite $(u_{n + 1})$ , qui n'est que la suite $(u_{n})$ privée de son premier terme, converge aussi vers $ℓ$ . Par passage à la limite dans l'encadrement $2 ⩽ u_{n} ⩽ 4$ , on obtient d'abord $2 ⩽ ℓ ⩽ 4$ ; en particulier $ℓ \neq = 0$ , donc $\frac{4}{u _{n}}$ converge vers $\frac{4}{ℓ}$ . En passant à la limite dans l'égalité $u_{n + 1} = 4 - \frac{4}{u _{n}}$ :

$ℓ = 4 - \frac{4}{ℓ} .$

Comme $ℓ ⩾ 2 > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $ℓ$ :

$ℓ^{2} = 4 ℓ - 4 ⟺ ℓ^{2} - 4 ℓ + 4 = 0 ⟺ (ℓ - 2)^{2} = 0 ⟺ ℓ = 2.$

La limite de la suite $(u_{n})$ est donc $ℓ = 2$ .

Ce que le correcteur attend : la justification $ℓ \neq = 0$ avant de passer à la limite dans le quotient $\frac{4}{u _{n}}$ — c'est l'encadrement de la question 2.b qui la fournit.

2.e. La suite converge vers $2$ , c'est-à-dire vers $2000$ individus, et elle est décroissante mais toujours supérieure ou égale à $2$ . La population diminue donc, mais se stabilise autour de $2000$ perches-soleil : ce modèle ne prévoit pas une élimination à long terme de l'espèce envahissante.

3.a. Le script doit s'arrêter dès que $u_{n} < s$ : on poursuit la boucle tant que $u ⩾ s$ . À chaque tour, on remplace $u$ par le terme suivant et on augmente le compteur de $1$ :


def population(s) :
    u = 4
    n = 0
    while u >= s :
        u = 4 - 4/u
        n = n + 1
    return n

À l'entrée de la boucle, la variable u contient $u_{n}$ où n est la valeur du compteur : cet invariant est vrai au départ ( $u_{0} = 4$ , $n = 0$ ) et se conserve à chaque tour. La boucle se termine (la suite décroît vers $2 < s$ ), et à la sortie $u = u_{n} < s$ alors que tous les termes précédents étaient supérieurs ou égaux à $s$ : la fonction renvoie bien le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < s$ .

3.b. Calculons les termes successifs sous forme exacte :

$u_{0} = 4, u_{1} = 3, u_{2} = \frac{8}{3}, u_{3} = \frac{5}{2}, u_{4} = \frac{12}{5}, u_{5} = \frac{7}{3}, u_{6} = \frac{16}{7}, u_{7} = \frac{9}{4},$

$u_{8} = \frac{20}{9} \approx 2, 222, u_{9} = \frac{11}{5} = 2, 2, u_{10} = 4 - \frac{4}{11/5} = 4 - \frac{20}{11} = \frac{24}{11} \approx 2, 1818.$

Le terme $u_{9}$ vaut exactement $2, 2$ : l'inégalité stricte $u_{9} < 2, 2$ est fausse, le rang $9$ ne convient donc pas. En revanche $u_{10} = \frac{24}{11} < 2, 2$ . La commande population(2.2) renvoie donc $10$ .

Interprétation : d'après ce modèle, c'est au $1^{er}$ janvier $2025 + 10 = 2035$ que le nombre de perches-soleil de l'étang devient, pour la première fois, strictement inférieur à $2200$ individus.

Ce que le correcteur attend : l'inégalité de la boucle est large (u >= s) parce que la condition cherchée, $u_{n} < s$ , est stricte ; c'est exactement ce qui fait passer la réponse de $9$ à $10$ .

Partie B : étude d'un modèle continu

1. L'équation (E) s'écrit $y^{'} = - y + 2$ , soit $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 1$ et $b = 2$ . Comme $a \neq = 0$ , la fonction constante égale à $- \frac{b}{a} = - \frac{2}{- 1} = 2$ en est une solution particulière, et les solutions de l'équation homogène $y^{'} = - y$ sont les fonctions $t \mapsto C e^{- t}$ , $C \in R$ . D'après le théorème de résolution de $y^{'} = a y + b$ , l'ensemble des solutions de (E) sur $[0; + \infty [$ est l'ensemble des fonctions

$t ⟼ C e^{- t} + 2, o u ˋ C est une constante r e ˊ elle.$

2. La fonction $p$ est solution de (E) : il existe donc un réel $C$ tel que $p (t) = C e^{- t} + 2$ pour tout $t ⩾ 0$ . La condition initiale $p (0) = 4$ détermine $C$ :

$p (0) = C e^{0} + 2 = C + 2 = 4 ⟺ C = 2.$

Ainsi, pour tout $t \in [0; + \infty [$ : $p (t) = 2 e^{- t} + 2$ .

3. On a $t \to + \infty lim (- t) = - \infty$ et $X \to - \infty lim e^{X} = 0$ , donc par composition $t \to + \infty lim e^{- t} = 0$ , puis

$t \to + \infty lim p (t) = 2 \times 0 + 2 = 2.$

De plus $e^{- t} > 0$ pour tout $t$ , donc $p (t) > 2$ : la population décroît vers $2$ milliers d'individus sans jamais l'atteindre. Comme le modèle discret, ce modèle continu prévoit une stabilisation autour de $2000$ perches-soleil, et donc pas d'élimination à long terme de l'espèce envahissante.

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