Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 1 — Exercice 3 : Pyramide à base carrée : produit scalaire et distance à un plan

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Dans cet exercice l'unité est le cm.

On considère une pyramide à base carrée $S A B C D$ comme dans la figure ci-dessous.

Dans cette figure :

$A B = B C = C D = D A = O S = 2$ cm ;
$I$ est le milieu de $[C D]$ , $J$ le milieu de $[B C]$ et $K$ le milieu de $[O S]$ .

L'espace est muni du repère orthonormé $(O; O I, O J, O K)$ .

On admet que $B (- 1; 1; 0)$ , $C (1; 1; 0)$ et $S (0; 0; 2)$ .

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Donner les coordonnées des points $A$ et $D$ .

2. Calculer le produit scalaire $S C \cdot S B$ .

3. En déduire la mesure de l'angle $B S C$ arrondie au dixième de degré près.

Partie B

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(S B C)$ .

1. Soit $n$ le vecteur de coordonnées $021$ .

1.a. Justifier que le vecteur $n$ est normal au plan $(S B C)$ .

1.b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(S B C)$ est $2 y + z - 2 = 0$ .

2. On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(S B C)$ .

2.a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(O H)$ est

$⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = 2 t z = t avec t \in R .$

2.b. Calculer les coordonnées du point $H$ .

2.c. En déduire que la distance du point $O$ au plan $(S B C)$ est égale à $\frac{2 5}{5}$ cm.

Partie C

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

1. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :

$V = \frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur .$

1.a. Calculer le volume de la pyramide $S A B C D$ .

1.b. En déduire que le volume de la pyramide $O C B S$ est égal à $\frac{2}{3}$ cm $^{3}$ .

2. Déterminer l'aire du triangle $S B C$ .

3. Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(S B C)$ est égale à $\frac{2 5}{5}$ cm.

Corrigé

Partie A

1. Le repère est $(O; O I, O J, O K)$ : par définition d'un repère, les extrémités des trois vecteurs de base ont pour coordonnées $I (1; 0; 0)$ , $J (0; 1; 0)$ et $K (0; 0; 1)$ .

Or $I$ est le milieu de $[C D]$ , donc chaque coordonnée de $I$ est la demi-somme des coordonnées correspondantes de $C$ et de $D$ ; on en tire celles de $D$ :

$x_{D} = 2 x_{I} - x_{C} = 2 \times 1 - 1 = 1, y_{D} = 2 y_{I} - y_{C} = 2 \times 0 - 1 = - 1, z_{D} = 2 z_{I} - z_{C} = 0,$

c'est-à-dire $D (1; - 1; 0)$ . Enfin $A B C D$ est un carré, donc $A D = B C$ , et $B C$ a pour coordonnées $(1 - (- 1); 1 - 1; 0) = (2; 0; 0)$ ; les coordonnées de $A$ s'obtiennent en retranchant celles de $B C$ à celles de $D$ :

$A (1 - 2; - 1 - 0; 0 - 0), c’est- a ˋ -dire A (- 1; - 1; 0) .$

Contrôle : le milieu de $[B C]$ a pour coordonnées $(\frac{- 1 + 1}{2}; \frac{1 + 1}{2}; 0) = (0; 1; 0)$ , c'est bien le point $J$ ; $D A = (- 1 - 1)^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 2$ cm, comme annoncé ; et $O$ est le milieu commun des diagonales $[A C]$ et $[B D]$ , c'est-à-dire le centre du carré, conformément à la figure.

2. On calcule d'abord les coordonnées des deux vecteurs, en soustrayant les coordonnées de l'origine $S$ :

$S C = 1 - 0 1 - 0 0 - 2 = 11 - 2, S B = - 1 - 0 1 - 0 0 - 2 = - 1 1 - 2 .$

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire s'obtient à partir des coordonnées :

$S C \cdot S B = 1 \times (- 1) + 1 \times 1 + (- 2) \times (- 2) = - 1 + 1 + 4 = 4.$

3. L'angle $B S C$ a pour sommet $S$ et pour côtés $[S B]$ et $[S C]$ . D'après l'expression du produit scalaire avec l'angle :

$S C \cdot S B = ∥ S C ∥ \times ∥ S B ∥ \times cos (B S C) .$

Or, dans le repère orthonormé,

$∥ S C ∥ = 1^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 6, ∥ S B ∥ = (- 1)^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 6 .$

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