Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 1 — Exercice 4 : Étude d'une fonction avec logarithme : dérivée, variations, convexité

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 5 ln (x^{2} + 1) - 3 x$ et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ .

On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $C_{f}$ et la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse $1$ .

1. Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ , les intervalles de $R$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ .

3.a. Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,

$f (x) = x (10 \frac{ln x}{x} - 3) + 5 ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

3.b. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .

4.a. Démontrer que pour tout $x$ réel, $f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 10 x - 3}{x ^{2} + 1}$ .

4.b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $R$ .

5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $R$ et que pour tout réel $x$ ,

$f^{''} (x) = \frac{- 10 x ^{2} + 10}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

5.a. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.

5.b. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse $1$ .

5.c. En déduire que pour tout $x ⩾ 1$ , $ln (x^{2} + 1) ⩽ x + ln (2) - 1$ .

Corrigé

1. Sur la partie tracée, la courbe $C_{f}$ est d'abord « tournée vers le haut » (elle descend en s'aplatissant, puis remonte : elle reste au-dessus de ses tangentes), et ce jusqu'au voisinage de l'abscisse $1$ . Ensuite, elle est « tournée vers le bas » et passe au-dessous de ses tangentes. La tangente tracée au point $A$ rend ce changement très lisible : la courbe est au-dessus d'elle à gauche de $A$ et au-dessous à droite — elle traverse sa tangente en $A$ , ce qui est la signature d'un changement de concavité. On conjecture donc :

$f semble convexe sur] - \infty; 1] et concave sur [1; + \infty [.$

Réserve à formuler : la courbe n'est visible que pour $x$ supérieur à $- 1$ environ (plus à gauche, elle sort de la fenêtre par le haut). La partie de la conjecture qui concerne $] - \infty; - 1]$ n'est donc pas réellement lue sur le graphique : c'est une extrapolation, et la question 5.a montrera qu'elle est fausse.

2. Étudions séparément les deux termes de $f (x) = 5 ln (x^{2} + 1) - 3 x$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ .

$x \to - \infty lim x^{2} = + \infty$ , donc $x \to - \infty lim (x^{2} + 1) = + \infty$ ; comme $X \to + \infty lim ln X = + \infty$ , on obtient par composition $x \to - \infty lim ln (x^{2} + 1) = + \infty$ , puis $x \to - \infty lim 5 ln (x^{2} + 1) = + \infty$ .
$x \to - \infty lim (- 3 x) = + \infty$ .

Par somme de deux limites infinies de même signe :

$x \to - \infty lim f (x) = + \infty.$

Il n'y a ici aucune forme indéterminée : les deux termes tendent tous les deux vers $+ \infty$ .

3.a. Soit $x$ un réel strictement positif. On factorise par $x^{2}$ à l'intérieur du logarithme :

$x^{2} + 1 = x^{2} (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

Les deux facteurs $x^{2}$ et $1 + \frac{1}{x ^{2}}$ sont strictement positifs, donc le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes :

$ln (x^{2} + 1) = ln (x^{2}) + ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 2 ln x + ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}),$

en utilisant $ln (x^{2}) = 2 ln x$ , valable parce que $x > 0$ . Donc

$f (x) = 5 (2 ln x + ln (1 + \frac{1}{x ^{2}})) - 3 x = 10 ln x - 3 x + 5 ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

Enfin, comme $x \neq = 0$ , on peut mettre $x$ en facteur dans les deux premiers termes : $10 ln x - 3 x = x (\frac{10 ln x}{x} - 3)$ . D'où, pour tout $x > 0$ :

$f (x) = x (10 \frac{ln x}{x} - 3) + 5 ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

3.b. L'écriture directe $5 ln (x^{2} + 1) - 3 x$ conduit en $+ \infty$ à la forme indéterminée « $+ \infty - \infty$ » : on utilise donc la forme obtenue à la question 3.a.

D'après le théorème des croissances comparées, $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ , donc $x \to + \infty lim (10 \frac{ln x}{x} - 3) = - 3$ . Comme $x \to + \infty lim x = + \infty$ , le produit d'une quantité tendant vers $+ \infty$ par une quantité tendant vers $- 3 < 0$ donne

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