Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 1 : Stock de tomates : arbre pondéré, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que :

• 91 % du stock de tomates est commercialisable ;
• 60 % du stock de tomates provient du fournisseur A ;
• parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

• $A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur A » ;
• $B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur B » ;
• $C$ l'événement « La tomate est commercialisable ».

Pour un événement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

Partie A

1. Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

2.a. Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$.

2.b. Démontrer que $P_B(C)=0,85$.

2.c. La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chance qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$. A-t-il raison ?

Partie B

On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

1. On prend 15 tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de 15 tomates.

1.a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

1.b. Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.

1.c. Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.

2. On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates. On a donc $F_n=\frac{X_n}{n}$.

On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,09$.

2.a. Calculer l'espérance $E(F_n)$ et exprimer la variance $V(F_n)$ en fonction de $n$.

2.b. Démontrer que $P(0,04<F_n<0,14)⩾1-\frac{32,76}{n}$.

2.c. Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 500 tomates. Il s'aperçoit que 55 tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.