Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 1 : Stock de tomates : arbre pondéré, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que :

91 % du stock de tomates est commercialisable ;
60 % du stock de tomates provient du fournisseur A ;
parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

$A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur A » ;
$B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur B » ;
$C$ l'événement « La tomate est commercialisable ».

Pour un événement quelconque $E$ , on note $P (E)$ la probabilité de $E$ .

Partie A

1. Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

2.a. Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$ .

2.b. Démontrer que $P_{B} (C) = 0, 85$ .

2.c. La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chance qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$ . A-t-il raison ?

Partie B

On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

1. On prend 15 tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de 15 tomates.

1.a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

1.b. Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.

1.c. Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.

2. On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_{n}$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates. On a donc $F_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ .

On admet que la variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0, 09$ .

2.a. Calculer l'espérance $E (F_{n})$ et exprimer la variance $V (F_{n})$ en fonction de $n$ .

2.b. Démontrer que $P (0, 04 < F_{n} < 0, 14) ⩾ 1 - \frac{32 , 76}{n}$ .

2.c. Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 500 tomates. Il s'aperçoit que 55 tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.

Corrigé

Partie A

1. Les trois données de l'énoncé se traduisent ainsi :

60 % du stock provient de A : $P (A) = 0, 60$ ; le stock ne provenant que des deux fournisseurs A et B, l'événement $B$ est l'événement contraire de $A$ , donc $P (B) = P (A) = 1 - 0, 60 = 0, 40$ ;
parmi les tomates de A, 95 % sont commercialisables : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{A} (C) = 0, 95$ , d'où $P_{A} (C) = 1 - 0, 95 = 0, 05$ (la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ) ;
91 % du stock est commercialisable : $P (C) = 0, 91$ (cette donnée ne figure pas sur une branche de l'arbre : elle porte sur l'ensemble du stock).

Les quatre pointillés valent donc, de haut en bas : $0, 95$ et $0, 05$ sur les branches issues de $A$ , $0, 60$ sur la branche $A$ et $0, 40$ sur la branche $B$ .

Les deux branches issues de $B$ ne portent pas de pointillé : elles valent $P_{B} (C)$ et $P_{B} (C)$ , que la question 2.b déterminera ( $0, 85$ et $0, 15$ ).

2.a. L'événement demandé est $A \cap C$ . La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités portées par ses branches :

$P (A \cap C) = P (A) \times P_{A} (C) = 0, 60 \times 0, 95 = 0, 57.$

La probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$ est $0, 57$ .

2.b. Les événements $A$ et $B = A$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P (C) = P (A \cap C) + P (B \cap C) .$

On connaît $P (C) = 0, 91$ et $P (A \cap C) = 0, 57$ , donc

$P (B \cap C) = 0, 91 - 0, 57 = 0, 34.$

Comme $P (B) = 0, 40 \neq = 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne

$P_{B} (C) = \frac{P ( B \cap C )}{P ( B )} = \frac{0 , 34}{0 , 40} = \frac{34}{40} = 0, 85.$

Ce que le correcteur attend : la probabilité demandée est $P_{B} (C)$ , et non $P (B \cap C) = 0, 34$ ; la division par $P (B)$ est l'étape notée.

2.c. On sait maintenant que la tomate est non commercialisable : il faut comparer les probabilités conditionnelles $P_{C} (A)$ et $P_{C} (B)$ . On a $P (C) = 1 - P (C) = 1 - 0, 91 = 0, 09$ , puis

$P (A \cap C) = P (A) \times P_{A} (C) = 0, 60 \times 0, 05 = 0, 03,$

$P (B \cap C) = P (B) \times P_{B} (C) = 0, 40 \times (1 - 0, 85) = 0, 40 \times 0, 15 = 0, 06.$

(On vérifie au passage que $0, 03 + 0, 06 = 0, 09 = P (C)$ .) Ainsi

$P_{C} (A) = \frac{0 , 03}{0 , 09} = \frac{1}{3} et P_{C} (B) = \frac{0 , 06}{0 , 09} = \frac{2}{3} .$

Or $\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$ : sachant que la tomate n'est pas commercialisable, il y a exactement deux fois moins de chances qu'elle provienne de $A$ que de $B$ . Le responsable des achats a raison.

Ce que le correcteur attend : on ne compare pas $P (A) = 0, 60$ et $P (B) = 0, 40$ (ce serait sans l'information « non commercialisable »), mais bien les probabilités sachant $C$ .

Partie B

1.a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante (le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise), une même épreuve de Bernoulli à deux issues : « la tomate n'est pas commercialisable », de probabilité $p = 0, 09$ , ou son contraire. La variable $X$ compte le nombre de succès. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0, 09$ , notée $B (15; 0, 09)$ .

1.b. Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $15$ , $P (X = k) = (k 15) \times 0, 0 9^{k} \times 0, 9 1^{15 - k}$ . Pour $k = 2$ :

$P (X = 2) = (2 15) \times 0, 0 9^{2} \times 0, 9 1^{13} = 105 \times 0, 0081 \times 0, 9 1^{13} \approx 0, 249 58.$

Arrondie au millième : $P (X = 2) \approx 0, 250$ .

1.c. « Au plus deux » signifie $X ⩽ 2$ , c'est-à-dire $X = 0$ , $X = 1$ ou $X = 2$ ; ces trois événements étant incompatibles :

$P (X ⩽ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) .$

Or $P (X = 0) = 0, 9 1^{15} \approx 0, 24301$ et $P (X = 1) = (1 15) \times 0, 09 \times 0, 9 1^{14} = 1, 35 \times 0, 9 1^{14} \approx 0, 36051$ . Donc

$P (X ⩽ 2) \approx 0, 24301 + 0, 36051 + 0, 24958 = 0, 853 10.$

Arrondie au millième : $P (X ⩽ 2) \approx 0, 853$ .

2.a. Comme $X_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0, 09$ :

$E (X_{n}) = n p = 0, 09 n et V (X_{n}) = n p (1 - p) = n \times 0, 09 \times 0, 91 = 0, 0819 n .$

Par linéarité de l'espérance, et puisque $V (a X) = a^{2} V (X)$ avec $a = \frac{1}{n}$ :

$E (F_{n}) = \frac{E ( X _{n} )}{n} = \frac{0 , 09 n}{n} = 0, 09, V (F_{n}) = \frac{V ( X _{n} )}{n ^{2}} = \frac{0 , 0819 n}{n ^{2}} = \frac{0 , 0819}{n} .$

2.b. L'encadrement $0, 04 < F_{n} < 0, 14$ est centré sur $0, 09 = E (F_{n})$ : en retranchant $0, 09$ , il s'écrit $- 0, 05 < F_{n} - 0, 09 < 0, 05$ , c'est-à-dire $∣ F_{n} - E (F_{n}) ∣ < 0, 05$ .

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $F_{n}$ avec $ϵ = 0, 05 > 0$ :

$P (∣ F_{n} - E (F_{n}) ∣ ⩾ 0, 05) ⩽ \frac{V ( F _{n} )}{0 , 0 5 ^{2}} = \frac{0 , 0819/ n}{0 , 0025} = \frac{32 , 76}{n} .$

En passant à l'événement contraire (pour tout événement $M$ , $P (M) = 1 - P (M)$ ) :

$P (∣ F_{n} - 0, 09 ∣ < 0, 05) ⩾ 1 - \frac{32 , 76}{n},$

soit exactement $P (0, 04 < F_{n} < 0, 14) ⩾ 1 - \frac{32 , 76}{n}$ .

Ce que le correcteur attend : centrer l'encadrement sur l'espérance avant d'appliquer l'inégalité, et ne pas oublier le passage au contraire, qui transforme la majoration « $⩽$ » en minoration « $⩾$ ».

2.c. Ici $n = 500$ , et la minoration précédente donne

$P (0, 04 < F_{500} < 0, 14) ⩾ 1 - \frac{32 , 76}{500} = 1 - 0, 06552 = 0, 934 48.$

Autrement dit, avant tout prélèvement, la fréquence aléatoire $F_{500}$ d'un échantillon de 500 tomates a au moins $93, 4$ % de chances d'appartenir à l'intervalle $] 0, 04; 0, 14 [$ . Or, sur l'échantillon effectivement prélevé, la fréquence observée de tomates non commercialisables vaut

$f = \frac{55}{500} = 0, 11,$

et $0, 04 < 0, 11 < 0, 14$ . L'observation appartient donc à l'intervalle attendu avec une probabilité d'au moins $0, 934$ : le résultat est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.

Ce que le correcteur attend : il ne s'agit pas de comparer $0, 11$ à $0, 09$ (un écart est normal), mais de constater que $0, 11$ tombe dans l'intervalle $] 0, 04; 0, 14 [$ , dont l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit qu'il concentre au moins $93, 4$ % des échantillons de taille $500$ .

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