Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 2 : Fonction f(x) = 2x/√(1+x²), suite récurrente et somme de termes

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie A : étude du sens de variation d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ .

1. Résoudre l'équation $f (x) = x$ .

2.a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ . Vérifier que, pour tout réel $x$ , on a $f^{'} (x) = \frac{2}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}}$ .

2.b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $R$ .

Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 3$ .

2. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.

3. Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B. Pour tout entier naturel $n$ , on pose :

$v_{n} = \frac{u _{n}^{2}}{3 - u _{n}^{2}} .$

On admet que la suite $(v_{n})$ est bien définie.

3.a. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $4$ dont on précisera le premier terme.

3.b. En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ puis que $u_{n} = \frac{1 , 5 \times 4 ^{n}}{1 + 0 , 5 \times 4 ^{n}}$ pour tout entier naturel $n$ .

3.c. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_{n} = u_{0}^{2} + u_{1}^{2} + \dots + u_{n - 1}^{2}$ .

1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $(S_{n})$ .


from math import*

def termes(p) :
    u=...
    S=0
    L=[]
    for i in range(p) :
        S=...
        u=...
        L.append(S)
    return L

Remarque : on rappelle qu'en langage Python, la commande L=[] crée une liste vide ; la commande L.append(S) ajoute, à la fin de la liste L, l'élément supplémentaire S.

2. On rappelle que, pour tout entier naturel $k$ , on a $1 ⩽ u_{k} ⩽ 3$ . Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n ⩽ S_{n} ⩽ 3 n$ .

3. En déduire les limites respectives de $S_{n}$ et de $\frac{S _{n}}{n ^{2}}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .

Corrigé

Partie A

1. Pour tout réel $x$ , $1 + x^{2} > 0$ : l'équation est définie sur $R$ . On la ramène à un produit nul :

$f (x) = x ⟺ \frac{2 x}{1 + x ^{2}} - x = 0 ⟺ x (\frac{2}{1 + x ^{2}} - 1) = 0.$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

Soit $x = 0$ ;
soit $\frac{2}{1 + x ^{2}} = 1$ , c'est-à-dire $1 + x^{2} = 2$ . Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : $1 + x^{2} = 4$ , donc $x^{2} = 3$ et $x = - 3$ ou $x = 3$ .

L'ensemble des solutions est $S = {- 3; 0; 3}$ .

2.a. Écrivons $f (x) = 2 x \times (1 + x^{2})^{- 1/2}$ , produit de $u : x \mapsto 2 x$ et de $w : x \mapsto (1 + x^{2})^{- 1/2} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ . On a $u^{'} (x) = 2$ et, en dérivant $w$ comme composée ( $(v)^{'} = \frac{v ^{'}}{2 v}$ puis dérivée d'un quotient, avec $v (x) = 1 + x^{2} > 0$ ) :

$w^{'} (x) = - \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{'}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = - \frac{\frac{2 x}{2 1 + x ^{2}}}{1 + x ^{2}} = - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}} .$

La formule $(u w)^{'} = u^{'} w + u w^{'}$ donne alors

$f^{'} (x) = \frac{2}{1 + x ^{2}} - \frac{2 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}} = \frac{2 ( 1 + x ^{2} ) - 2 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}} = \frac{2}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}},$

où l'on a réduit au même dénominateur $(1 + x^{2}) 1 + x^{2}$ . C'est bien l'expression annoncée.

2.b. Pour tout réel $x$ , $1 + x^{2} > 0$ et $1 + x^{2} > 0$ , donc le dénominateur $(1 + x^{2}) 1 + x^{2}$ est strictement positif ; le numérateur vaut $2 > 0$ . Ainsi $f^{'} (x) > 0$ sur $R$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $R$ .

Partie B

1. Notons $P (n)$ la propriété : « $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 3$ ». Démontrons-la par récurrence.

Initialisation. On a $u_{0} = 1$ et $u_{1} = f (u_{0}) = f (1) = \frac{2}{2} = 2$ . Comme $1 ⩽ 1 ⩽ 2 < 3$ (car $2 < 3$ ), la propriété $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé, c'est-à-dire $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 3$ . La fonction $f$ étant strictement croissante sur $R$ (partie A), elle conserve l'ordre : en appliquant $f$ à cet encadrement,

$f (1) ⩽ f (u_{n}) ⩽ f (u_{n + 1}) < f (3),$

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