Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 2 : Fonction f(x) = 2x/√(1+x²), suite récurrente et somme de termes

from math import*

def termes(p) :
    u=...
    S=0
    L=[]
    for i in range(p) :
        S=...
        u=...
        L.append(S)
    return L

Partie A

1. Pour tout réel $x$, $1+x^2>0$ : l'équation est définie sur $\mathbb{R}$. On la ramène à un produit nul :

$$f(x)=x⟺\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}-x=0⟺x\left(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)=0.$$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

• Soit $x=0$ ;
• soit $\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}=1$, c'est-à-dire $\sqrt{1+x^2}=2$. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : $1+x^2=4$, donc $x^2=3$ et $x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$.

L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\left\{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right\}$.

2.a. Écrivons $f(x)=2x\times (1+x^2{)}^{-1/2}$, produit de $u:x\mapsto 2x$ et de $w:x\mapsto (1+x^2{)}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. On a $u^{\prime }(x)=2$ et, en dérivant $w$ comme composée (${\left(\sqrt{v}\right)}^{\prime }=\frac{v^{\prime }}{2\sqrt{v}}$ puis dérivée d'un quotient, avec $v(x)=1+x^2>0$) :

$$w^{\prime }(x)=-\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2}=-\frac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=-\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}.$$

La formule $(uw{)}^{\prime }=u^{\prime }w+u{w}^{\prime }$ donne alors

$$f^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{2(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}},$$

où l'on a réduit au même dénominateur $(1+x^2)\sqrt{1+x^2}$. C'est bien l'expression annoncée.

2.b. Pour tout réel $x$, $1+x^2>0$ et $\sqrt{1+x^2}>0$, donc le dénominateur $(1+x^2)\sqrt{1+x^2}$ est strictement positif ; le numérateur vaut $2>0$. Ainsi $f^{\prime }(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Partie B

1. Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $1⩽u_n⩽u_{n+1}<\sqrt{3}$ ». Démontrons-la par récurrence.

Initialisation. On a $u_0=1$ et $u_1=f(u_0)=f(1)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Comme $1⩽1⩽\sqrt{2}<\sqrt{3}$ (car $2<3$), la propriété $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé, c'est-à-dire $1⩽u_n⩽u_{n+1}<\sqrt{3}$. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (partie A), elle conserve l'ordre : en appliquant $f$ à cet encadrement,

$$f(1)⩽f(u_n)⩽f(u_{n+1})<f\left(\sqrt{3}\right),$$

c'est-à-dire, puisque $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ :

$$\sqrt{2}⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}<\sqrt{3},\text{ouˋ}f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

Comme $1⩽\sqrt{2}$, on obtient $1⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}<\sqrt{3}$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1⩽u_n⩽u_{n+1}<\sqrt{3}$.

Ce que le correcteur attend : l'hérédité s'obtient en appliquant $f$ à l'encadrement entier et en invoquant explicitement la stricte croissance de $f$ ; le calcul $f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}$ (déjà visible en partie A : $\sqrt{3}$ est un point fixe) est indispensable pour conserver la borne.

2. D'après la question précédente, $u_n⩽u_{n+1}$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante ; et $u_n<\sqrt{3}$ pour tout $n$ : elle est majorée par $\sqrt{3}$. D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge : $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

Déterminons $\ell$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle y est dérivable), donc en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ on obtient $\ell =f(\ell )$ : $\ell$ est solution de l'équation de la partie A, donc $\ell \in \left\{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right\}$. Or $u_n⩾1$ pour tout $n$, donc par passage à la limite dans l'inégalité $\ell ⩾1$. Seule la valeur $\sqrt{3}$ convient :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\sqrt{3}.$$

3.a. Calculons d'abord $u_{n+1}^2$ :

$$u_{n+1}^2={\left(\frac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\right)}^2=\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}.$$

Puis le dénominateur de $v_{n+1}$ :

$$3-u_{n+1}^2=3-\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}=\frac{3(1+u_n^2)-4u_n^2}{1+u_n^2}=\frac{3-u_n^2}{1+u_n^2}.$$

Comme $1⩽u_n<\sqrt{3}$, on a $3-u_n^2>0$ : ce dénominateur n'est pas nul, et

$$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}^2}{3-u_{n+1}^2}=\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}\times \frac{1+u_n^2}{3-u_n^2}=4\times \frac{u_n^2}{3-u_n^2}=4v_n.$$

Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=4v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $4$, de premier terme

$$v_0=\frac{u_0^2}{3-u_0^2}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}=0,5.$$

3.b. Une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$ vérifie $v_n=v_0{q}^n$, donc

$$v_n=0,5\times 4^n.$$

Revenons à $u_n$ : de $\frac{u_n^2}{3-u_n^2}=v_n$ on tire $u_n^2=v_n(3-u_n^2)$, soit $u_n^2+v_n{u}_n^2=3v_n$, c'est-à-dire $u_n^2(1+v_n)=3v_n$. Comme $v_n>0$, $1+v_n\ne 0$ et

$$u_n^2=\frac{3v_n}{1+v_n}=\frac{3\times 0,5\times 4^n}{1+0,5\times 4^n}=\frac{1,5\times 4^n}{1+0,5\times 4^n}.$$

Enfin $u_n⩾1>0$, donc $u_n$ est la racine carrée de $u_n^2$ :

$$u_n=\sqrt{\frac{1,5\times 4^n}{1+0,5\times 4^n}}.$$

3.c. Le quotient présente une forme indéterminée « $\frac{\infty }{\infty }$ » : on factorise par le terme dominant $4^n$ au numérateur et au dénominateur, ou, ce qui revient au même, on divise les deux par $4^n\ne 0$ :

$$u_n^2=\frac{1,5}{\frac{1}{4^n}+0,5}.$$

Comme $4>1$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{4}^n=+\infty$, donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{4^n}=0$ et, par quotient, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^2=\frac{1,5}{0,5}=3$. La fonction racine carrée étant continue sur $[0;+\infty [$, on conclut

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\sqrt{3},$$

ce qui confirme le résultat de la question 2.

Partie C

1. La variable u doit contenir successivement $u_0,u_1,u_2,\dots$ : on l'initialise à $u_0=1$. À chaque tour de boucle on ajoute $u_i^2$ à la somme S, puis on remplace u par le terme suivant $u_{i+1}=\frac{2u_i}{\sqrt{1+u_i^2}}$, avant d'ajouter la somme courante à la liste. Le script complété est :

from math import*

def termes(p) :
    u=1
    S=0
    L=[]
    for i in range(p) :
        S=S+u**2
        u=2*u/sqrt(1+u**2)
        L.append(S)
    return L

Au tour $i=0$, S devient $u_0^2=S_1$ et est ajouté à la liste ; au tour $i=1$, S devient $u_0^2+u_1^2=S_2$, etc. La fonction renvoie donc la liste $[S_1,S_2,\dots ,S_p]$ des $p$ premiers termes de $(S_n)$.

Ce que le correcteur attend : l'ordre des deux affectations est déterminant. Si l'on met à jour u avant de l'ajouter à S, la somme démarre à $u_1^2$ et le terme $u_0^2$ est perdu.

2. Soit $k$ un entier naturel. On a $1⩽u_k⩽\sqrt{3}$, et ces trois nombres sont positifs ; la fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty [$, on peut élever au carré en conservant l'ordre :

$$1^2⩽u_k^2⩽{\left(\sqrt{3}\right)}^2,\text{c’est-aˋ-dire}1⩽u_k^2⩽3.$$

Soit maintenant $n$ un entier naturel non nul. La somme $S_n$ comporte exactement $n$ termes ($u_0^2$ jusqu'à $u_{n-1}^2$). En additionnant membre à membre les $n$ encadrements précédents pour $k=0,1,\dots ,n-1$ :

$$\underset{n\text{ termes}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}⩽S_n⩽\underset{n\text{ termes}}{\underbrace{3+3+\cdots +3}},\text{soit}n⩽S_n⩽3n.$$

3. Limite de $S_n$. De $n⩽S_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$, on déduit par le théorème de comparaison (minoration par une suite tendant vers $+\infty$) :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty .$$

Limite de $\frac{S_n}{n^2}$. Pour $n⩾1$, $n^2>0$ : en divisant l'encadrement $n⩽S_n⩽3n$ par $n^2$, l'ordre est conservé :

$$\frac{1}{n}⩽\frac{S_n}{n^2}⩽\frac{3}{n}.$$

Or $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3}{n}=0$ : les deux suites encadrantes ont la même limite $0$, donc d'après le théorème des gendarmes :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{S_n}{n^2}=0.$$

Ce que le correcteur attend : $S_n$ tend vers $+\infty$ mais « pas trop vite » : elle croît comme $n$, donc $\frac{S_n}{n^2}$ tend vers $0$. Le théorème des gendarmes exige que les deux bornes aient la même limite ; diviser par $n$ (et non $n^2$) donnerait $1⩽\frac{S_n}{n}⩽3$, ce qui ne suffirait pas à conclure.