Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : droite, plan, projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

On considère :

les points $A (4; 2; 2)$ , $B (5; - 2; 3)$ et $C (1; 1; 1)$ ;
la droite $Δ$ dont une représentation paramétrique est donnée par

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 1 + t z = 1 + 2 t avec t \in R;$

le plan $P$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $Δ$ .

1. Vérifier que la droite $Δ$ passe par le point $C (1; 1; 1)$ mais pas par le point $A$ .

2.a. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $2 x + y + 2 z - 14 = 0$ .

2.b. Vérifier que le plan $P$ passe par le point $B$ mais pas par le point $C$ .

3. On considère le point $D (3; 2; 3)$ .

3.a. Démontrer que le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $P$ .

3.b. Justifier que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

3.c. Calculer le produit scalaire $A B \cdot A D$ .

3.d. Calculer le volume du tétraèdre $A B C D$ .

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.

4. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(B C)$ .

4.a. Vérifier que les coordonnées du point $H$ sont $(\frac{73}{29}; \frac{- 4}{29}; \frac{51}{29})$ .

4.b. Démontrer que l'aire du triangle $A B C$ est $\frac{3 22}{2}$ .

4.c. En déduire la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ .

Corrigé

1. Un point appartient à $Δ$ si et seulement s'il existe un même réel $t$ donnant ses trois coordonnées.

Pour $C (1; 1; 1)$ : en prenant $t = 0$ , la représentation paramétrique donne $x = 1$ , $y = 1$ , $z = 1$ : ce sont exactement les coordonnées de $C$ . Donc $C \in Δ$ .

Pour $A (4; 2; 2)$ : la première équation impose $1 + 2 t = 4$ , donc $t = \frac{3}{2}$ . Pour cette valeur, $y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \neq = 2$ . Aucun réel $t$ ne convient : $A \in / Δ$ .

2.a. La représentation paramétrique de $Δ$ montre que $u 212$ est un vecteur directeur de $Δ$ (ce sont les coefficients de $t$ ). Le plan $P$ étant perpendiculaire à $Δ$ , le vecteur $u$ est un vecteur normal à $P$ .

D'après le théorème sur l'équation cartésienne d'un plan, $P$ admet donc une équation de la forme $2 x + y + 2 z + d = 0$ , avec $d \in R$ . Le plan passe par $A (4; 2; 2)$ , dont les coordonnées vérifient l'équation :

$2 \times 4 + 2 + 2 \times 2 + d = 0 ⟺ 8 + 2 + 4 + d = 0 ⟺ d = - 14.$

Une équation cartésienne du plan $P$ est donc $2 x + y + 2 z - 14 = 0$ .

2.b. On remplace les coordonnées dans le membre de gauche :

$pour B (5; - 2; 3) : 2 \times 5 + (- 2) + 2 \times 3 - 14 = 10 - 2 + 6 - 14 = 0,$

donc $B \in P$ ;

$pour C (1; 1; 1) : 2 \times 1 + 1 + 2 \times 1 - 14 = 2 + 1 + 2 - 14 = - 9 \neq = 0,$

donc $C \in / P$ .

3.a. Le projeté orthogonal de $C$ sur $P$ est l'unique point $D$ tel que $D \in P$ et $(C D) ⊥ P$ . Vérifions ces deux conditions pour $D (3; 2; 3)$ .

$2 \times 3 + 2 + 2 \times 3 - 14 = 6 + 2 + 6 - 14 = 0$ , donc $D \in P$ ;
$C D 3 - 1 2 - 1 3 - 1 = 212 = u$ : le vecteur $C D$ est colinéaire (ici égal) au vecteur normal $u$ de $P$ , et il est non nul, donc la droite $(C D)$ est orthogonale au plan $P$ .

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