Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 4 : Étude de f(x) = x(ln x)² : variations, équation et intégration par parties

1. Quand $x\to +\infty$, $\ln x\to +\infty$, donc $(\ln x{)}^2\to +\infty$ (la fonction carré tend vers $+\infty$ en $+\infty$). Par produit de deux facteurs tendant vers $+\infty$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

Il n'y a ici aucune forme indéterminée.

2.a. Soit $x>0$ ; alors $\sqrt{x}>0$ et $g(\sqrt{x})$ est bien défini. En utilisant $\ln \left(\sqrt{x}\right)=\ln \left(x^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln x$ :

$$g\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\ln \left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\times \frac{1}{2}\ln x=\frac{\sqrt{x}}{2}\ln x,$$

puis, en élevant au carré (et comme ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$) :

$$4(g(\sqrt{x}){)}^2=4\times \frac{x}{4}(\ln x{)}^2=x(\ln x{)}^2=f(x).$$

2.b. D'après le théorème des croissances comparées en $0^{+}$, $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }t\ln t=0$, c'est-à-dire $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }g(t)=0$.

Or $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}=0^{+}$ : d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(\sqrt{x}\right)=0$. Enfin, la fonction $t\mapsto 4t^2$ étant continue en $0$ et valant $0$ en $0$ :

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }4(g(\sqrt{x}){)}^2=4\times 0^2=0.$$

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée est « $0\times \infty$ ». La question 2.a sert précisément à la ramener à la croissance comparée du cours, $t\ln t\to 0$, qui porte sur $g$ et non sur $f$.

3.a. La fonction $f$ est le produit de $u:x\mapsto x$ et de $w:x\mapsto (\ln x{)}^2$. On a $u^{\prime }(x)=1$ et, en dérivant $w$ comme composée ${\left(v^2\right)}^{\prime }=2v^{\prime }v$ avec $v(x)=\ln x$, $w^{\prime }(x)=2\times \frac{1}{x}\times \ln x=\frac{2\ln x}{x}$. D'après $(uw{)}^{\prime }=u^{\prime }w+u{w}^{\prime }$, pour tout $x>0$ :

$$f^{\prime }(x)=1\times (\ln x{)}^2+x\times \frac{2\ln x}{x}=(\ln x{)}^2+2\ln x.$$

En factorisant par $\ln x$ :

$$f^{\prime }(x)=(\ln x)(\ln x+2)=(\ln x)(2+\ln x).$$

3.b. Le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui d'un produit de deux facteurs :

• $\ln x=0⟺x=1$, et $\ln x>0⟺x>1$ ;
• $2+\ln x=0⟺\ln x=-2⟺x={\mathrm{e}}^{-2}$, et $2+\ln x>0⟺x>{\mathrm{e}}^{-2}$.

Comme ${\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135<1$, on obtient, sur $]0;+\infty [$ :

• sur $]0;{\mathrm{e}}^{-2}[$ : $\ln x<-2<0$ et $2+\ln x<0$, donc $f^{\prime }(x)>0$ ;
• sur $]{\mathrm{e}}^{-2};1[$ : $\ln x<0$ et $2+\ln x>0$, donc $f^{\prime }(x)<0$ ;
• sur $]1;+\infty [$ : $\ln x>0$ et $2+\ln x>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$.