Corrigé bac mathématiques 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 4 : Étude de f(x) = x(ln x)² : variations, équation et intégration par parties

1. Quand $x\to +\infty$, $\ln x\to +\infty$, donc $(\ln x{)}^2\to +\infty$ (la fonction carré tend vers $+\infty$ en $+\infty$). Par produit de deux facteurs tendant vers $+\infty$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

Il n'y a ici aucune forme indéterminée.

2.a. Soit $x>0$ ; alors $\sqrt{x}>0$ et $g(\sqrt{x})$ est bien défini. En utilisant $\ln \left(\sqrt{x}\right)=\ln \left(x^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln x$ :

$$g\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\ln \left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\times \frac{1}{2}\ln x=\frac{\sqrt{x}}{2}\ln x,$$

puis, en élevant au carré (et comme ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$) :

$$4(g(\sqrt{x}){)}^2=4\times \frac{x}{4}(\ln x{)}^2=x(\ln x{)}^2=f(x).$$

2.b. D'après le théorème des croissances comparées en $0^{+}$, $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }t\ln t=0$, c'est-à-dire $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }g(t)=0$.

Or $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}=0^{+}$ : d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(\sqrt{x}\right)=0$. Enfin, la fonction $t\mapsto 4t^2$ étant continue en $0$ et valant $0$ en $0$ :

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }4(g(\sqrt{x}){)}^2=4\times 0^2=0.$$

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée est « $0\times \infty$ ». La question 2.a sert précisément à la ramener à la croissance comparée du cours, $t\ln t\to 0$, qui porte sur $g$ et non sur $f$.

3.a. La fonction $f$ est le produit de $u:x\mapsto x$ et de $w:x\mapsto (\ln x{)}^2$. On a $u^{\prime }(x)=1$ et, en dérivant $w$ comme composée ${\left(v^2\right)}^{\prime }=2v^{\prime }v$ avec $v(x)=\ln x$, $w^{\prime }(x)=2\times \frac{1}{x}\times \ln x=\frac{2\ln x}{x}$. D'après $(uw{)}^{\prime }=u^{\prime }w+u{w}^{\prime }$, pour tout $x>0$ :

$$f^{\prime }(x)=1\times (\ln x{)}^2+x\times \frac{2\ln x}{x}=(\ln x{)}^2+2\ln x.$$

En factorisant par $\ln x$ :

$$f^{\prime }(x)=(\ln x)(\ln x+2)=(\ln x)(2+\ln x).$$

3.b. Le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui d'un produit de deux facteurs :

• $\ln x=0⟺x=1$, et $\ln x>0⟺x>1$ ;
• $2+\ln x=0⟺\ln x=-2⟺x={\mathrm{e}}^{-2}$, et $2+\ln x>0⟺x>{\mathrm{e}}^{-2}$.

Comme ${\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135<1$, on obtient, sur $]0;+\infty [$ :

• sur $]0;{\mathrm{e}}^{-2}[$ : $\ln x<-2<0$ et $2+\ln x<0$, donc $f^{\prime }(x)>0$ ;
• sur $]{\mathrm{e}}^{-2};1[$ : $\ln x<0$ et $2+\ln x>0$, donc $f^{\prime }(x)<0$ ;
• sur $]1;+\infty [$ : $\ln x>0$ et $2+\ln x>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$.

Avec les valeurs $f\left({\mathrm{e}}^{-2}\right)={\mathrm{e}}^{-2}\times (-2{)}^2=\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$, $f(1)=1\times 0^2=0$, ainsi que $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ (question 2.b) et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (question 1.), le tableau de variations est :

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;{\mathrm{e}}^{-2}\right]$, strictement décroissante sur $\left[{\mathrm{e}}^{-2};1\right]$, puis strictement croissante sur $[1;+\infty [$. Le $0$ inscrit sous la borne $0$ du tableau n'est pas une valeur de $f$ (la fonction n'y est pas définie) mais la limite obtenue à la question 2.b ; en revanche la valeur $0$ en $x=1$ est bien atteinte, puisque $f(1)=0$.

3.c. Sur $]0;1]$, la fonction $f$ croît jusqu'en ${\mathrm{e}}^{-2}$ puis décroît : elle atteint son maximum en $x={\mathrm{e}}^{-2}$, et ce maximum vaut

$$f\left({\mathrm{e}}^{-2}\right)={\mathrm{e}}^{-2}{\left(\ln {\mathrm{e}}^{-2}\right)}^2={\mathrm{e}}^{-2}\times (-2{)}^2=\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}\approx 0,541.$$

4.a. Traitons séparément les deux intervalles de monotonie utiles.

Sur $]0;1]$ : d'après la question 3.c, pour tout $x$ de cet intervalle, $f(x)⩽\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}\approx 0,541<2$. L'équation $f(x)=2$ n'y a donc aucune solution.

Sur $[1;+\infty [$ : la fonction $f$ est dérivable donc continue, et strictement croissante (question 3.b), avec $f(1)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Comme $2$ est compris entre $f(1)=0$ et cette limite, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection, étendu à un intervalle non borné en remplaçant la valeur en la borne par la limite) assure que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1;+\infty [$.

En réunissant les deux intervalles, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses du corollaire (continuité, stricte monotonie, valeur cible entre les images ou limites aux bornes) doivent être citées ; et l'unicité sur tout $]0;+\infty [$ exige d'écarter explicitement l'intervalle $]0;1]$, où $f$ n'est pas monotone mais reste majorée par $\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}<2$.

4.b. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[1;+\infty [$, il suffit d'encadrer $2$ par deux valeurs de $f$. À la calculatrice :

$$f(2,4)=2,4(\ln 2,4{)}^2\approx 1,839\text{et}f(2,5)=2,5(\ln 2,5{)}^2\approx 2,099.$$

Ainsi $f(2,4)<2<f(2,5)$, et la stricte croissance donne

$$2,4<\alpha <2,5,$$

encadrement d'amplitude $2,5-2,4=0,1$.

5.a. Sur $]0;1]$, on a $x>0$ et $(\ln x{)}^2⩾0$, donc $f(x)⩾0$ : la fonction $f$ est positive sur $[a;1]$, et $a⩽1$. L'intégrale ${\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x$ est donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=a$ et $x=1$.

5.b. Remarque sur l'énoncé : tel qu'il est imprimé, le second membre comporte l'intégrale ${\int }_1^{a}x\ln x\mathrm{d}x$ ; la relation exacte, et celle qu'utilise la question 5.c, fait intervenir ${\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x$ (les bornes sont les mêmes que celles de l'intégrale de gauche). C'est cette relation que l'on démontre. On peut aussi conserver les bornes imprimées à condition de changer le signe, puisque ${\int }_1^{a}x\ln x\mathrm{d}x=-{\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x$ :

$${\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2+{\int }_1^{a}x\ln x\mathrm{d}x.$$

Les fonctions $u:x\mapsto \frac{x^2}{2}$ et $v:x\mapsto (\ln x{)}^2$ sont dérivables sur $[a;1]$ (inclus dans $]0;+\infty [$) et leurs dérivées

$$u^{\prime }(x)=x\text{et}{v}^{\prime }(x)=2\times \frac{1}{x}\times \ln x=\frac{2\ln x}{x}$$

y sont continues : on peut appliquer la formule d'intégration par parties ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$. Avec $f(x)=x(\ln x{)}^2=u^{\prime }(x)v(x)$ :

$${\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}(\ln x{)}^2\right]}_a^1-{\int }_a^1\frac{x^2}{2}\times \frac{2\ln x}{x}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}(\ln x{)}^2\right]}_a^1-{\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x,$$

car $\frac{x^2}{2}\times \frac{2\ln x}{x}=x\ln x$. Comme $\ln 1=0$, le crochet vaut

$${\left[\frac{x^2}{2}(\ln x{)}^2\right]}_a^1=\frac{1}{2}\times 0^2-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2=-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2,$$

d'où

$${\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2-{\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x.$$

5.c. Calculons ${\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x$ par une seconde intégration par parties, en posant cette fois $u(x)=\frac{x^2}{2}$ (donc $u^{\prime }(x)=x$) et $v(x)=\ln x$ (donc $v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$), toujours dérivables à dérivées continues sur $[a;1]$ :

$${\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_a^1-{\int }_a^1\frac{x^2}{2}\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_a^1-{\int }_a^1\frac{x}{2}\mathrm{d}x.$$

Le crochet vaut $\frac{1}{2}\ln 1-\frac{a^2}{2}\ln a=-\frac{a^2}{2}\ln a$, et ${\int }_a^1\frac{x}{2}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{4}\right]}_a^1=\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$. Donc

$${\int }_a^{1}x\ln x\mathrm{d}x=-\frac{a^2}{2}\ln a-\frac{1}{4}+\frac{a^2}{4}.$$

En reportant dans la relation de la question 5.b :

$${\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2-\left(-\frac{a^2}{2}\ln a-\frac{1}{4}+\frac{a^2}{4}\right)=-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2+\frac{a^2}{2}\ln a+\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}.$$

C'est bien l'égalité demandée.

Vérification : pour $a=1$, le second membre vaut $0+0+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$, ce qui est cohérent puisque ${\int }_1^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.

5.d. Étudions séparément les trois termes dépendant de $a$ lorsque $a\to 0^{+}$.

• $a^2(\ln a{)}^2=(a\ln a{)}^2$ : par croissances comparées, $a\ln a\to 0$, donc $(a\ln a{)}^2\to 0$ et $-\frac{a^2}{2}(\ln a{)}^2\to 0$ ;
• $a^2\ln a\to 0$ par croissances comparées (cas $n=2$ en $0^{+}$), donc $\frac{a^2}{2}\ln a\to 0$ ;
• $a^2\to 0$, donc $-\frac{a^2}{4}\to 0$.

Par somme de limites :

$$\underset{a\to 0}{\lim }{\int }_a^{1}f(x)\mathrm{d}x=0+0+\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}.$$

Géométriquement (question 5.a), l'aire du domaine situé sous la courbe de $f$ entre $a$ et $1$ ne croît pas indéfiniment lorsque $a$ se rapproche de $0$ : elle tend vers la valeur finie $\frac{1}{4}$ unité d'aire.

Ce que le correcteur attend : le terme $a^2(\ln a{)}^2$ ne se traite pas par la croissance comparée brute ; il faut reconnaître le carré de $a\ln a$ (même idée qu'à la question 2.a) pour lever la forme indéterminée « $0\times \infty$ ».