Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 1 : Suite de probabilités et tir à l'arc

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.

On modélise la situation de la façon suivante :

au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ ;
pour les tirs suivants :

lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\frac{4}{5}$ ;
lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\frac{1}{3}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}$ : « Le tireur atteint le centre de la cible au $n$ -ième tir ».

On note $p_{n} = P (T_{n})$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise.

1. Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2} = \frac{17}{30}$ .

2. Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :

$p_{n + 1} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{1}{3} .$

4. On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$u_{n} = p_{n} - \frac{5}{8} .$

4.a. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{7}{15}$ .

4.b. Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4.c. En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

5. Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à $0, 6$ .


def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while ...:
        n = ...
        p = ...
    return ...

7. Résoudre dans $N$ l'inéquation $p_{n} ⩾ 0, 6$ .

Corrigé

1. L'énoncé donne directement la probabilité d'atteindre le centre au premier tir :

$p_{1} = P (T_{1}) = \frac{1}{2} .$

Pour $p_{2}$ , les événements $T_{1}$ et $T_{1}$ forment une partition de l'univers (le tireur atteint le centre au premier tir, ou il ne l'atteint pas), et ils sont de probabilité non nulle. D'après la formule des probabilités totales :

$p_{2} = P (T_{2}) = P (T_{1}) \times P_{T_{1}} (T_{2}) + P (T_{1}) \times P_{T_{1}} (T_{2}) .$

Les probabilités conditionnelles sont celles de l'énoncé : $P_{T_{1}} (T_{2}) = \frac{4}{5}$ (il a atteint le centre au tir précédent) et $P_{T_{1}} (T_{2}) = \frac{1}{3}$ (il ne l'a pas atteint). Avec $P (T_{1}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ :

$p_{2} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \frac{17}{30} .$

2. Les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$ ; les branches du second niveau portent les probabilités conditionnelles données par l'énoncé, qui ne dépendent que du résultat du tir précédent :

branche inférieure du premier niveau : $P (T_{n}) = 1 - p_{n}$ ;
branche inférieure issue de $T_{n}$ : $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ ;
branches issues de $T_{n}$ : $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = \frac{1}{3}$ et $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

L'arbre complété est donc le suivant :

3. Soit $n$ un entier naturel non nul. Les événements $T_{n}$ et $T_{n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, en lisant sur l'arbre les deux chemins qui mènent à $T_{n + 1}$ :

$p_{n + 1} = P (T_{n + 1}) = P (T_{n}) \times P_{T_{n}} (T_{n + 1}) + P (T_{n}) \times P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = p_{n} \times \frac{4}{5} + (1 - p_{n}) \times \frac{1}{3} .$

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