Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 1 : Suite de probabilités et tir à l'arc

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.

On modélise la situation de la façon suivante :

au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ ;
pour les tirs suivants :

lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\frac{4}{5}$ ;
lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\frac{1}{3}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}$ : « Le tireur atteint le centre de la cible au $n$ -ième tir ».

On note $p_{n} = P (T_{n})$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise.

1. Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2} = \frac{17}{30}$ .

2. Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :

$p_{n + 1} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{1}{3} .$

4. On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$u_{n} = p_{n} - \frac{5}{8} .$

4.a. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{7}{15}$ .

4.b. Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4.c. En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

5. Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à $0, 6$ .


def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while ...:
        n = ...
        p = ...
    return ...

7. Résoudre dans $N$ l'inéquation $p_{n} ⩾ 0, 6$ .

Corrigé

1. L'énoncé donne directement la probabilité d'atteindre le centre au premier tir :

$p_{1} = P (T_{1}) = \frac{1}{2} .$

Pour $p_{2}$ , les événements $T_{1}$ et $T_{1}$ forment une partition de l'univers (le tireur atteint le centre au premier tir, ou il ne l'atteint pas), et ils sont de probabilité non nulle. D'après la formule des probabilités totales :

$p_{2} = P (T_{2}) = P (T_{1}) \times P_{T_{1}} (T_{2}) + P (T_{1}) \times P_{T_{1}} (T_{2}) .$

Les probabilités conditionnelles sont celles de l'énoncé : $P_{T_{1}} (T_{2}) = \frac{4}{5}$ (il a atteint le centre au tir précédent) et $P_{T_{1}} (T_{2}) = \frac{1}{3}$ (il ne l'a pas atteint). Avec $P (T_{1}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ :

$p_{2} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \frac{17}{30} .$

2. Les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$ ; les branches du second niveau portent les probabilités conditionnelles données par l'énoncé, qui ne dépendent que du résultat du tir précédent :

branche inférieure du premier niveau : $P (T_{n}) = 1 - p_{n}$ ;
branche inférieure issue de $T_{n}$ : $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ ;
branches issues de $T_{n}$ : $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = \frac{1}{3}$ et $P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

L'arbre complété est donc le suivant :

3. Soit $n$ un entier naturel non nul. Les événements $T_{n}$ et $T_{n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, en lisant sur l'arbre les deux chemins qui mènent à $T_{n + 1}$ :

$p_{n + 1} = P (T_{n + 1}) = P (T_{n}) \times P_{T_{n}} (T_{n + 1}) + P (T_{n}) \times P_{T_{n}} (T_{n + 1}) = p_{n} \times \frac{4}{5} + (1 - p_{n}) \times \frac{1}{3} .$

On développe et on réduit les coefficients de $p_{n}$ au même dénominateur :

$p_{n + 1} = \frac{4}{5} p_{n} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} p_{n} = (\frac{12}{15} - \frac{5}{15}) p_{n} + \frac{1}{3} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{1}{3} .$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n + 1} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{1}{3}$ .

4.a. Soit $n$ un entier naturel non nul. En utilisant la relation de récurrence de la question 3 :

$u_{n + 1} = p_{n + 1} - \frac{5}{8} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{1}{3} - \frac{5}{8} = \frac{7}{15} p_{n} + \frac{8}{24} - \frac{15}{24} = \frac{7}{15} p_{n} - \frac{7}{24} .$

D'autre part :

$\frac{7}{15} u_{n} = \frac{7}{15} (p_{n} - \frac{5}{8}) = \frac{7}{15} p_{n} - \frac{35}{120} = \frac{7}{15} p_{n} - \frac{7}{24} .$

Les deux expressions coïncident, donc $u_{n + 1} = \frac{7}{15} u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul : la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = \frac{7}{15}$ .

Ce que le correcteur attend : le calcul de $u_{n + 1}$ doit aboutir à $q \times u_{n}$ , c'est-à-dire faire réapparaître $u_{n} = p_{n} - \frac{5}{8}$ ; affirmer « on reconnaît une suite géométrique » sans ce calcul ne vaut rien.

4.b. Le premier terme de la suite $(u_{n})$ est celui d'indice $1$ :

$u_{1} = p_{1} - \frac{5}{8} = \frac{1}{2} - \frac{5}{8} = \frac{4}{8} - \frac{5}{8} = - \frac{1}{8} .$

Le terme général d'une suite géométrique de raison $q$ dont le premier terme est d'indice $1$ est $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ . Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$u_{n} = - \frac{1}{8} \times (\frac{7}{15})^{n - 1} .$

Ce que le correcteur attend : l'exposant $n - 1$ , et non $n$ : la suite commence au rang $1$ .

4.c. Par définition, $u_{n} = p_{n} - \frac{5}{8}$ , donc $p_{n} = u_{n} + \frac{5}{8}$ . On en déduit, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$p_{n} = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} \times (\frac{7}{15})^{n - 1} .$

Contrôle : pour $n = 1$ , $p_{1} = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ ; pour $n = 2$ , $p_{2} = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{75}{120} - \frac{7}{120} = \frac{68}{120} = \frac{17}{30}$ . On retrouve bien les valeurs de la question 1.

5. La raison vérifie $- 1 < \frac{7}{15} < 1$ , donc, d'après le théorème sur les limites des suites géométriques :

$n \to + \infty lim (\frac{7}{15})^{n - 1} = 0.$

Par produit puis par somme :

$n \to + \infty lim p_{n} = \frac{5}{8} = 0, 625.$

Interprétation : au fil de l'entraînement, la probabilité que le tireur atteigne le centre de la cible à un tir donné se stabilise autour de $0, 625$ , soit $62, 5%$ : sur un très grand nombre de tirs, il touche le centre environ $5$ fois sur $8$ . On observe d'ailleurs que la suite $(p_{n})$ est croissante (car $u_{n} < 0$ et $∣ u_{n} ∣$ décroît), et qu'elle reste toujours inférieure à $\frac{5}{8}$ .

6. À l'entrée dans la boucle, la variable n contient un indice et la variable p contient $p_{n}$ : c'est le cas au départ, avec $n = 1$ et $p_{1} = 0, 5$ . Tant que la condition cherchée n'est pas atteinte, c'est-à-dire tant que p < 0.6, on passe au rang suivant en incrémentant n, puis on calcule $p_{n + 1}$ à partir de $p_{n}$ grâce à la relation de la question 3. À la sortie de la boucle, p contient le premier terme supérieur ou égal à $0, 6$ et n son indice : c'est ce que la fonction doit renvoyer.


def seuil():
    n = 1
    p = 0.5
    while p < 0.6:
        n = n + 1
        p = 7 / 15 * p + 1 / 3
    return n

La ligne 4 est la condition « tant que le seuil n'est pas atteint », contraire de $p_{n} ⩾ 0, 6$ ; les lignes 5 et 6 font passer du rang $n$ au rang $n + 1$ ; la ligne 7 renvoie l'indice. L'ordre des lignes 5 et 6 est ici sans conséquence sur le résultat, car la relation de récurrence ne fait pas intervenir $n$ , mais il faut bien renvoyer n et non p. Cette fonction renvoie $4$ .

7. On utilise l'expression obtenue à la question 4.c. Pour tout entier naturel $n$ non nul :

$p_{n} ⩾ 0, 6 ⟺ \frac{5}{8} - \frac{1}{8} (\frac{7}{15})^{n - 1} ⩾ \frac{3}{5} ⟺ - \frac{1}{8} (\frac{7}{15})^{n - 1} ⩾ \frac{3}{5} - \frac{5}{8} .$

Or $\frac{3}{5} - \frac{5}{8} = \frac{24}{40} - \frac{25}{40} = - \frac{1}{40}$ . En multipliant les deux membres par $- 8 < 0$ , le sens de l'inégalité change :

$p_{n} ⩾ 0, 6 ⟺ (\frac{7}{15})^{n - 1} ⩽ \frac{8}{40} = \frac{1}{5} .$

Les deux membres sont strictement positifs et la fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , donc l'inégalité équivaut à :

$ln ((\frac{7}{15})^{n - 1}) ⩽ ln (\frac{1}{5}) ⟺ (n - 1) ln (\frac{7}{15}) ⩽ ln (\frac{1}{5}) .$

Comme $\frac{7}{15} < 1$ , on a $ln (\frac{7}{15}) < 0$ : en divisant par ce nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change de nouveau :

$n - 1 ⩾ \frac{ln ( \frac{1}{5} )}{ln ( \frac{7}{15} )} \approx 2, 1117.$

L'entier $n - 1$ doit donc être supérieur ou égal à $2, 1117$ : le plus petit convenable est $n - 1 = 3$ , c'est-à-dire $n = 4$ . L'ensemble des solutions dans $N$ est donc

$S = {n \in N tel que n ⩾ 4} .$

Contrôle numérique : $p_{3} = \frac{269}{450} \approx 0, 5978 < 0, 6$ et $p_{4} = \frac{4133}{6750} \approx 0, 6123 ⩾ 0, 6$ . C'est bien la valeur $4$ que renvoie la fonction seuil de la question 6.

Ce que le correcteur attend : les deux changements de sens de l'inégalité (multiplication par $- 8$ , puis division par $ln (\frac{7}{15}) < 0$ ), et le passage de $n - 1 ⩾ 2, 11$ à $n - 1 ⩾ 3$ justifié par le fait que $n$ est un entier. La suite n'étant définie que pour $n ⩾ 1$ , l'entier $n = 0$ n'a pas à être considéré.

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