Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 2 : Vrai ou faux : limites, suites, loi binomiale, intégrale, dénombrement

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 1; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} - 1} .$

Affirmation 1 : La fonction $f$ admet pour limite $1$ en $+ \infty$ .

2. On considère la suite $(w_{n})$ définie par $w_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par :

$w_{n + 1} = w_{n} + 2 n + 3.$

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$ , $w_{n} = (n + 1)^{2}$ .

3. Soit $p$ un nombre réel tel que $0 < p < 1$ .

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$ . On note $P (X = 1)$ la probabilité de l'évènement $(X = 1)$ .

Affirmation 3 : $P (X = 1) = 3 p - 6 p^{2} + 3 p^{3}$ .

4. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ par :

$v_{n} = \int_{0}^{1} e^{n x} d x .$

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ ,

$v_{n} = \frac{e ^{n}}{n} .$

5. On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des $16$ cases d'un quadrillage.

Affirmation 5 : On peut réaliser $(3 16)$ coloriages différents.

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

Sur $] 1; + \infty [$ , le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ : c'est une forme indéterminée, qu'il faut lever. Le plus efficace ici est de factoriser $x^{2} - 1$ sous la racine. Pour tout $x > 1$ , on a $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$ , donc

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1) = x - 1 \times x + 1 .$

Comme $x - 1 > 0$ , on peut écrire $x - 1 = (x - 1)^{2}$ , d'où, après simplification par $x - 1 \neq = 0$ :

$f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1 x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} .$

Or, pour $x > 1$ :

$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x ( 1 - \frac{1}{x} )}{x ( 1 + \frac{1}{x} )} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} .$

Comme $x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ , le quotient tend vers $\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , et par composition avec la fonction racine carrée, qui est continue en $1$ :

$x \to + \infty lim f (x) = 1 = 1.$

L'affirmation 1 est donc vraie.

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ doit être signalée et levée. On peut aussi factoriser par $x$ en haut et sous la racine, en prenant soin d'écrire $x^{2} = x$ (et non $- x$ ) puisque $x > 0$ : $f (x) = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}} ⟶ 1$ .

2. Affirmation 2 : VRAIE.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété $H_{n}$ : « $w_{n} = (n + 1)^{2}$ » est vraie.

Initialisation. Pour $n = 0$ : $w_{0} = 1$ par définition, et $(0 + 1)^{2} = 1$ . Donc $H_{0}$ est vraie.

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