Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 2 : Vrai ou faux : limites, suites, loi binomiale, intégrale, dénombrement

1. Affirmation 1 : VRAIE.

Sur $]1;+\infty [$, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée, qu'il faut lever. Le plus efficace ici est de factoriser $x^2-1$ sous la racine. Pour tout $x>1$, on a $x-1>0$ et $x+1>0$, donc

$$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{(x-1)(x+1)}=\sqrt{x-1}\times \sqrt{x+1}.$$

Comme $x-1>0$, on peut écrire $x-1=(\sqrt{x-1}{)}^2$, d'où, après simplification par $\sqrt{x-1}\ne 0$ :

$$f(x)=\frac{(\sqrt{x-1}{)}^2}{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.$$

Or, pour $x>1$ :

$$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}.$$

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$, le quotient tend vers $\frac{1-0}{1+0}=1$, et par composition avec la fonction racine carrée, qui est continue en $1$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\sqrt{1}=1.$$

L'affirmation 1 est donc vraie.

Ce que le correcteur attend : la forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$ doit être signalée et levée. On peut aussi factoriser par $x$ en haut et sous la racine, en prenant soin d'écrire $\sqrt{x^2}=x$ (et non $-x$) puisque $x>0$ : $f(x)=\frac{1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}⟶1$.

2. Affirmation 2 : VRAIE.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, la propriété ${\mathcal{H}}_n$ : « $w_n=(n+1{)}^2$ » est vraie.

Initialisation. Pour $n=0$ : $w_0=1$ par définition, et $(0+1{)}^2=1$. Donc ${\mathcal{H}}_0$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel quelconque. Supposons ${\mathcal{H}}_n$ vraie, c'est-à-dire $w_n=(n+1{)}^2$. Alors, d'après la relation de récurrence :

$$w_{n+1}=w_n+2n+3=(n+1{)}^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4.$$

Or $n^2+4n+4=(n+2{)}^2=((n+1)+1{)}^2$. Donc ${\mathcal{H}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $w_n=(n+1{)}^2$. L'affirmation 2 est vraie.

Ce que le correcteur attend : les trois temps de la récurrence explicitement nommés. Vérifier l'égalité sur $w_1=1+0+3=4=2^2$ et $w_2=4+2+3=9=3^2$ est un contrôle utile, mais ne constitue pas une démonstration.

3. Affirmation 3 : VRAIE.

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3;p)$. D'après le cours, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$ :

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)p^k(1-p{)}^{3-k}.$$

Avec $k=1$, et puisque $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$ :

$$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)p^1(1-p{)}^2=3p(1-p{)}^2.$$

On développe l'identité remarquable $(1-p{)}^2=1-2p+p^2$ :

$$P(X=1)=3p(1-2p+p^2)=3p-6p^2+3p^3.$$

C'est exactement l'expression de l'affirmation : elle est vraie (et l'hypothèse $0<p<1$ garantit seulement que la loi est non dégénérée ; le calcul, lui, vaut pour tout $p$).

4. Affirmation 4 : FAUSSE.

Soit $n$ un entier naturel non nul. La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{nx}$ est continue sur $[0;1]$, et comme $n\ne 0$, la fonction $F:x\mapsto \frac{1}{n}{\mathrm{e}}^{nx}$ en est une primitive : en effet $F^{\prime }(x)=\frac{1}{n}\times n{\mathrm{e}}^{nx}={\mathrm{e}}^{nx}$. Donc

$$v_n={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{nx}\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{n}{\mathrm{e}}^{nx}\right]}_0^1=\frac{1}{n}{\mathrm{e}}^n-\frac{1}{n}{\mathrm{e}}^0=\frac{{\mathrm{e}}^n-1}{n}.$$

Or $\frac{{\mathrm{e}}^n-1}{n}\ne \frac{{\mathrm{e}}^n}{n}$, puisque leur différence vaut $-\frac{1}{n}\ne 0$. L'affirmation 4 est donc fausse.

Contre-exemple explicite. Pour $n=1$ : $v_1=\mathrm{e}-1\approx 1,718$, alors que $\frac{{\mathrm{e}}^1}{1}=\mathrm{e}\approx 2,718$. Les deux nombres diffèrent : l'égalité annoncée est fausse dès le premier rang.

Ce que le correcteur attend : le facteur $\frac{1}{n}$ dans la primitive (l'oubli de ce facteur est l'erreur classique), et le terme $-\frac{1}{n}$ venant de la borne inférieure, car ${\mathrm{e}}^0=1$ et non $0$.

5. Affirmation 5 : FAUSSE.

Colorier le quadrillage, c'est attribuer à chacune des $16$ cases l'une des $3$ couleurs disponibles : rouge, jaune ou noir. Un coloriage est donc entièrement décrit par la liste ordonnée des couleurs des cases, c'est-à-dire par un $16$-uplet de l'ensemble $\{\text{rouge};\text{jaune};\text{noir}\}$. Les cases sont numérotées, donc distinctes, l'ordre compte, et une même couleur peut resservir. D'après le principe multiplicatif, il y a $3$ choix pour la première case, $3$ pour la deuxième, et ainsi de suite :

$$\underset{16\text{ facteurs}}{\underbrace{3\times 3\times \cdots \times 3}}=3^{16}=43046721\text{ coloriages}.$$

Or $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{3}\right)=\frac{16\times 15\times 14}{3\times 2\times 1}=560$ : ce nombre compte les parties à $3$ éléments d'un ensemble à $16$ éléments, c'est-à-dire les façons de choisir $3$ cases parmi $16$ sans tenir compte de l'ordre. Cela ne décrit pas un coloriage à trois couleurs. Comme $560\ne 43046721$, l'affirmation 5 est fausse.

Ce que le correcteur attend : distinguer le modèle du $p$-uplet (choix répétés, ordonnés : $n^p$) de celui de la combinaison (choix simultanés, non ordonnés : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$). Ici, ce sont les cases qui choisissent une couleur, pas les couleurs qui choisissent des cases.