Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : plans, droite et intersection

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ de l'espace, on considère les points suivants $A (0; 0; 1)$ ; $B (1; 2; 3)$ ; $C (3; 3; 1)$ ; $E (2; - 2; 2)$ ; $F (3; 0; 4)$ et $G (5; 1; 2)$ .

1.a. Montrer que les points $B$ , $C$ et $E$ ne sont pas alignés.

1.b. Justifier que le vecteur $A F$ est normal au plan $(B C E)$ .

1.c. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(B C E)$ est $x + z - 4 = 0$ .

2.a. Montrer que le point $G$ n'appartient pas au plan $(B C E)$ .

2.b. Montrer que les vecteurs $B E$ , $B C$ et $A G$ ne sont pas coplanaires.

2.c. En déduire que la droite $(A G)$ et le plan $(B C E)$ sont sécants.

Pour la suite de l'exercice, on appellera $P$ le point d'intersection de la droite $(A G)$ et du plan $(B C E)$ .

3.a. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(A G)$ est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 5 t y = t z = 1 + t, t \in R .$

3.b. En déduire les coordonnées du point $P$ .

3.c. Montrer que le point $P$ est le milieu du segment $[E C]$ .

4. Déterminer l'intersection des plans $(B C E)$ et $(A C G)$ .

Corrigé

1.a. Calculons les coordonnées de deux vecteurs d'origine $B$ :

$B C = 3 - 1 3 - 2 1 - 3 = 21 - 2 et B E = 2 - 1 - 2 - 2 2 - 3 = 1 - 4 - 1 .$

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $B C = k B E$ . La première coordonnée imposerait $k = 2$ , mais alors la deuxième donnerait $2 \times (- 4) = - 8 \neq = 1$ : c'est impossible. Les vecteurs $B C$ et $B E$ ne sont donc pas colinéaires, et les points $B$ , $C$ et $E$ ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan $(B C E)$ .

1.b. On calcule

$A F = 3 - 0 0 - 0 4 - 1 = 303 .$

Ce vecteur n'est pas le vecteur nul. Les vecteurs $B C$ et $B E$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(B C E)$ d'après la question 1.a ; il suffit donc de vérifier que $A F$ est orthogonal à chacun d'eux. Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule coordonnée par coordonnée :

$A F \cdot B C = 3 \times 2 + 0 \times 1 + 3 \times (- 2) = 6 + 0 - 6 = 0,$

$A F \cdot B E = 3 \times 1 + 0 \times (- 4) + 3 \times (- 1) = 3 + 0 - 3 = 0.$

Le vecteur $A F$ , non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(B C E)$ : il est donc orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan, c'est-à-dire normal au plan $(B C E)$ .

Ce que le correcteur attend : les deux produits scalaires et le rappel que les vecteurs $B C$ et $B E$ ne sont pas colinéaires. L'orthogonalité à un seul vecteur du plan ne suffirait pas.

1.c. Un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ admet une équation cartésienne de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ . Le vecteur $A F (3; 0; 3)$ est normal au plan $(B C E)$ ; le vecteur $n = \frac{1}{3} A F$ , de coordonnées $(1; 0; 1)$ , lui est colinéaire et non nul, donc lui aussi normal au plan. Une équation cartésienne de $(B C E)$ s'écrit donc

$x + 0 \times y + z + d = 0, c’est- a ˋ -dire x + z + d = 0.$

Le point $B (1; 2; 3)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

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