Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 4 : Étude de fonctions, signes, variations et inégalité avec sinus

1.a. La fonction $g$ est la différence du produit $x\mapsto x\cos (x)$ et de la fonction sinus. Pour le produit, posons $u(x)=x$ et $v(x)=\cos (x)$ : alors $u^{\prime }(x)=1$ et $v^{\prime }(x)=-\sin (x)$, et d'après la formule $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ :

$$(x\cos (x){)}^{\prime }=1\times \cos (x)+x\times (-\sin (x))=\cos (x)-x\sin (x).$$

La dérivée de la fonction sinus étant la fonction cosinus, on obtient pour tout réel $x$ de $[0;2\pi ]$ :

$$g^{\prime }(x)=\cos (x)-x\sin (x)-\cos (x)=-x\sin (x).$$

1.b. Signe de la dérivée. Pour tout $x$ de $[0;2\pi ]$, on a $x⩾0$, donc $-x⩽0$ : le signe de $g^{\prime }(x)=-x\sin (x)$ est l'opposé de celui de $\sin (x)$.

• Sur $[0;\pi ]$, $\sin (x)⩾0$, donc $g^{\prime }(x)⩽0$. De plus $g^{\prime }$ ne s'annule qu'en $0$ et en $\pi$ sur cet intervalle : la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0;\pi ]$.
• Sur $[\pi ;2\pi ]$, $\sin (x)⩽0$, donc $g^{\prime }(x)⩾0$, avec annulation seulement en $\pi$ et $2\pi$ : la fonction $g$ est strictement croissante sur $[\pi ;2\pi ]$.

Valeurs aux bornes. On calcule les trois valeurs inscrites dans le tableau, en utilisant $\cos (0)=1$, $\sin (0)=0$, $\cos (\pi )=-1$, $\sin (\pi )=0$, $\cos (2\pi )=1$ et $\sin (2\pi )=0$ :

$$g(0)=0\times 1-0=0,g(\pi )=\pi \times (-1)-0=-\pi ,g(2\pi )=2\pi \times 1-0=2\pi .$$

Le sens des deux flèches et les trois valeurs $0$, $-\pi$ et $2\pi$ du tableau sont donc tous justifiés. On note au passage que $-\pi$ est le minimum de $g$ sur $[0;2\pi ]$ et $2\pi$ son maximum.

1.c. Plaçons-nous sur l'intervalle $[\pi ;2\pi ]$ :

• $g$ est dérivable sur $[\pi ;2\pi ]$, donc continue sur cet intervalle ;
• $g$ est strictement croissante sur $[\pi ;2\pi ]$ d'après la question 1.b ;
• $g(\pi )=-\pi <0$ et $g(2\pi )=2\pi >0$, donc $0$ est compris entre $g(\pi )$ et $g(2\pi )$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[\pi ;2\pi ]$.

Localisation. Comme $g\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{2}\times 0-(-1)=1>0$, on a déjà $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. À la calculatrice, $g(4,49)\approx -0,015<0$ et $g(4,50)\approx 0,029>0$, donc $4,49<\alpha <4,50$, soit $\alpha \approx 4,49$ à $10^{-2}$ près (valeur plus précise : $\alpha \approx 4,4934$).

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses citées et le nom du théorème ; la continuité vient de la dérivabilité admise, l'existence du théorème des valeurs intermédiaires et l'unicité de la stricte croissance. Attention : sur $[0;2\pi ]$ tout entier, $g$ s'annule deux fois (en $0$ et en $\alpha$) ; c'est bien sur $[\pi ;2\pi ]$ que l'unicité est demandée.

1.d. Sur $[0;\pi ]$, $g$ est strictement décroissante et $g(0)=0$, donc $g(x)<0$ pour tout $x$ de $]0;\pi ]$. Sur $[\pi ;2\pi ]$, $g$ est strictement croissante et s'annule uniquement en $\alpha$, donc $g(x)<0$ sur $[\pi ;\alpha [$ et $g(x)>0$ sur $]\alpha ;2\pi ]$. En rassemblant :

Autrement dit : $g(0)=g(\alpha )=0$, $g$ est strictement négative sur $]0;\alpha [$ et strictement positive sur $]\alpha ;2\pi ]$.

2.a. Sur $]0;2\pi ]$, on a $x\ne 0$ : la fonction $f$ est le quotient $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=\sin (x)$ et $v(x)=x$, donc $u^{\prime }(x)=\cos (x)$ et $v^{\prime }(x)=1$. D'après la formule de dérivation d'un quotient, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\times x-\sin (x)\times 1}{x^2}=\frac{x\cos (x)-\sin (x)}{x^2}.$$

Or, par définition, $g(x)=x\cos (x)-\sin (x)$. Donc, pour tout réel $x$ de $]0;2\pi ]$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}.$$

2.b. Pour tout $x$ de $]0;2\pi ]$, $x\ne 0$ donc $x^2>0$ : le quotient $\frac{g(x)}{x^2}$ est du signe de son numérateur. La fonction $f^{\prime }$ a donc exactement le signe de $g$ trouvé à la question 1.d :

$$f^{\prime }(x)<0\text{ sur }]0;\alpha [,f^{\prime }(\alpha )=0,f^{\prime }(x)>0\text{ sur }]\alpha ;2\pi ].$$

2.c. Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement négative sur un intervalle y est strictement décroissante, et strictement croissante là où sa dérivée est strictement positive ; la dérivée $f^{\prime }$ ne s'annulant qu'au seul point $\alpha$, le sens de variation s'étend à cette borne. Donc :

• $f$ est strictement décroissante sur $]0;\alpha ]$ ;
• $f$ est strictement croissante sur $[\alpha ;2\pi ]$.

La fonction $f$ admet ainsi un minimum sur $]0;2\pi ]$, atteint en $\alpha$. On peut même en donner la valeur : comme $g(\alpha )=0$, on a $\alpha \cos (\alpha )=\sin (\alpha )$, et en divisant par $\alpha \ne 0$ :

$$f(\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\alpha }=\cos (\alpha )\approx -0,217.$$

2.d. Pour tout $x$ de $]0;2\pi ]$, comme $\sin (0)=0$ :

$$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}=\frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0}.$$

On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$. La fonction sinus est dérivable en $0$, donc ce taux d'accroissement tend, quand $x$ tend vers $0$, vers le nombre dérivé de la fonction sinus en $0$, à savoir $\cos (0)=1$. Donc

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1.$$

Remarque. La fonction $f$ n'est pas définie en $0$, mais elle se prolonge par continuité en posant $f(0)=1$ ; la courbe de $f$ « arrive » donc au point de coordonnées $(0;1)$, puis descend jusqu'au minimum $\cos (\alpha )\approx -0,217$ avant de remonter vers $f(2\pi )=0$.

3. Soient $r$ et $s$ deux réels tels que $0<r<s<\pi$.

D'après la question 1.c, $\alpha >\pi$ : l'intervalle $]0;\pi ]$ est donc inclus dans $]0;\alpha ]$, intervalle sur lequel la fonction $f$ est strictement décroissante (question 2.c). Les réels $r$ et $s$ appartiennent à $]0;\pi [$, donc à $]0;\alpha ]$, et $r<s$ : la stricte décroissance donne

$$f(r)>f(s),\text{c’est-aˋ-dire}\frac{\sin (r)}{r}>\frac{\sin (s)}{s}.$$

Multiplions les deux membres par le réel $rs$, strictement positif : le sens de l'inégalité est conservé et

$$s\sin (r)>r\sin (s).$$

Enfin, $0<s<\pi$ donc $\sin (s)>0$, et $s>0$ : le produit $s\sin (s)$ est strictement positif. En divisant les deux membres par $s\sin (s)$, le sens de l'inégalité est encore conservé :

$$\frac{s\sin (r)}{s\sin (s)}>\frac{r\sin (s)}{s\sin (s)},\text{soit}\frac{\sin (r)}{\sin (s)}>\frac{r}{s}.$$

On a donc bien, pour tous réels $r$ et $s$ tels que $0<r<s<\pi$ :

$$\frac{r}{s}<\frac{\sin (r)}{\sin (s)}.$$

Ce que le correcteur attend : deux points de vigilance. D'une part, il faut justifier que $]0;\pi ]$ est bien contenu dans la zone de décroissance de $f$, ce qui demande de savoir que $\alpha >\pi$ (c'est acquis puisque $\alpha \in [\pi ;2\pi ]$ et $g(\pi )=-\pi \ne 0$). D'autre part, chaque multiplication ou division doit être faite par un nombre dont le signe est établi : c'est la stricte positivité de $\sin (s)$ sur $]0;\pi [$ qui autorise la dernière étape, et elle serait fausse pour $s>\pi$.