Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 1 — Exercice 4 : Étude de fonctions, signes, variations et inégalité avec sinus

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0; 2 π]$ par :

$g (x) = x cos (x) - sin (x) .$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0; 2 π]$ et on note $g^{'}$ sa dérivée.

1.a. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 2 π]$ , on a $g^{'} (x) = - x sin (x)$ .

1.b. On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0; 2 π]$ ci-dessous. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

1.c. Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $α$ dans l'intervalle $[π; 2 π]$ telle que $g (α) = 0$ .

1.d. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0; 2 π]$ .

2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; 2 π]$ par :

$f (x) = \frac{sin ( x )}{x} .$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; 2 π]$ et on note $f^{'}$ sa dérivée.

2.a. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0; 2 π]$ on a :

$f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2}} .$

2.b. Étudier le signe de la fonction $f^{'}$ sur l'intervalle $] 0; 2 π]$ .

2.c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; 2 π]$ .

2.d. Déterminer la limite de $f$ en $0$ . On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$ .

3. On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $0 < r < s < π$ . Montrer que :

$\frac{r}{s} < \frac{sin ( r )}{sin ( s )} .$

Corrigé

1.a. La fonction $g$ est la différence du produit $x \mapsto x cos (x)$ et de la fonction sinus. Pour le produit, posons $u (x) = x$ et $v (x) = cos (x)$ : alors $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = - sin (x)$ , et d'après la formule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$(x cos (x))^{'} = 1 \times cos (x) + x \times (- sin (x)) = cos (x) - x sin (x) .$

La dérivée de la fonction sinus étant la fonction cosinus, on obtient pour tout réel $x$ de $[0; 2 π]$ :

$g^{'} (x) = cos (x) - x sin (x) - cos (x) = - x sin (x) .$

1.b. Signe de la dérivée. Pour tout $x$ de $[0; 2 π]$ , on a $x ⩾ 0$ , donc $- x ⩽ 0$ : le signe de $g^{'} (x) = - x sin (x)$ est l'opposé de celui de $sin (x)$ .

Sur $[0; π]$ , $sin (x) ⩾ 0$ , donc $g^{'} (x) ⩽ 0$ . De plus $g^{'}$ ne s'annule qu'en $0$ et en $π$ sur cet intervalle : la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0; π]$ .
Sur $[π; 2 π]$ , $sin (x) ⩽ 0$ , donc $g^{'} (x) ⩾ 0$ , avec annulation seulement en $π$ et $2 π$ : la fonction $g$ est strictement croissante sur $[π; 2 π]$ .

Valeurs aux bornes. On calcule les trois valeurs inscrites dans le tableau, en utilisant $cos (0) = 1$ , $sin (0) = 0$ , $cos (π) = - 1$ , $sin (π) = 0$ , $cos (2 π) = 1$ et $sin (2 π) = 0$ :

$g (0) = 0 \times 1 - 0 = 0, g (π) = π \times (- 1) - 0 = - π, g (2 π) = 2 π \times 1 - 0 = 2 π .$

Le sens des deux flèches et les trois valeurs $0$ , $- π$ et $2 π$ du tableau sont donc tous justifiés. On note au passage que $- π$ est le minimum de $g$ sur $[0; 2 π]$ et $2 π$ son maximum.

1.c. Plaçons-nous sur l'intervalle $[π; 2 π]$ :

$g$ est dérivable sur $[π; 2 π]$ , donc continue sur cet intervalle ;
$g$ est strictement croissante sur $[π; 2 π]$ d'après la question 1.b ;
$g (π) = - π < 0$ et $g (2 π) = 2 π > 0$ , donc $0$ est compris entre $g (π)$ et $g (2 π)$ .

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[π; 2 π]$ .

Localisation. Comme $g (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \times 0 - (- 1) = 1 > 0$ , on a déjà $π < α < \frac{3 π}{2}$ . À la calculatrice, $g (4, 49) \approx - 0, 015 < 0$ et $g (4, 50) \approx 0, 029 > 0$ , donc $4, 49 < α < 4, 50$ , soit $α \approx 4, 49$ à $1 0^{- 2}$ près (valeur plus précise : $α \approx 4, 4934$ ).

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →