Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 2 — Exercice 1 : Fonction homographique et suite récurrente

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ par $f (x) = \frac{x - 2}{2 x - 3}$ .

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

$x$	$- \infty$		$\frac{3}{2}$
$f$	$\frac{1}{2}$	$↗$	$+ \infty$

2. En déduire que pour tout $x \in [0; 1]$ , on a :

$f (x) \in [0; 1] .$

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :

$⎩ ⎨ ⎧ u_{0} = 0 u_{n + 1} = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} - 3}, pour tout entier naturel n .$

1. En utilisant la fonction $f$ , démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1.$

2. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

3. On note $l$ la limite de la suite $(u_{n})$ .

En admettant que $l$ est solution de l'équation $f (x) = x$ sur l'intervalle $[0; 1]$ , montrer que $l = 1$ .

4. On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.


def seuil(h):
    n=0
    u=0
    while u<1-h:
        n=n+1
        u=(u-2)/(2*u-3)
    return n

L'appel seuil(0.0001) renvoie la valeur $5000$ .

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

5.a. Donner les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ sous forme de fractions irréductibles.

5.b. Conjecturer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.

Corrigé

Partie A

1. Il y a quatre éléments à justifier : l'ensemble de définition, le sens de variation, et les deux valeurs aux bornes.

Ensemble de définition. Le dénominateur s'annule pour $2 x - 3 = 0$ , c'est-à-dire $x = \frac{3}{2}$ : la fonction $f$ , quotient de deux fonctions affines, est bien définie et dérivable sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ .

Sens de variation. On applique la formule de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ avec $u (x) = x - 2$ ( $u^{'} (x) = 1$ ) et $v (x) = 2 x - 3$ ( $v^{'} (x) = 2$ ) :

$f^{'} (x) = \frac{1 \times ( 2 x - 3 ) - ( x - 2 ) \times 2}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{2 x - 3 - 2 x + 4}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{1}{( 2 x - 3 ) ^{2}} .$

Pour tout $x < \frac{3}{2}$ , on a $(2 x - 3)^{2} > 0$ , donc $f^{'} (x) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ , ce qui justifie la flèche montante.

Limite en $- \infty$ . Le quotient présente la forme indéterminée « $\frac{- \infty}{- \infty}$ » ; on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$f (x) = \frac{x ( 1 - \frac{2}{x} )}{x ( 2 - \frac{3}{x} )} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{2 - \frac{3}{x}} .$

Comme $\frac{2}{x} \to 0$ et $\frac{3}{x} \to 0$ quand $x \to - \infty$ , on obtient par quotient $x \to - \infty lim f (x) = \frac{1}{2}$ .

Limite en $\frac{3}{2}$ à gauche. On a $x \to \frac{3}{2}^{-} lim (x - 2) = - \frac{1}{2} < 0$ ; de plus, pour $x < \frac{3}{2}$ , $2 x - 3 < 0$ , donc $x \to \frac{3}{2}^{-} lim (2 x - 3) = 0^{-}$ . Le quotient d'une quantité strictement négative par une quantité négative tendant vers $0$ tend vers $+ \infty$ :

$x \to \frac{3}{2}^{-} lim f (x) = + \infty.$

La droite d'équation $x = \frac{3}{2}$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ : c'est la double barre du tableau. Les deux nombres $\frac{1}{2}$ et $+ \infty$ inscrits dans le tableau sont des limites, non des valeurs prises par $f$ .

2. L'intervalle $[0; 1]$ est inclus dans $] - \infty; \frac{3}{2} [$ car $1 < \frac{3}{2}$ . La fonction $f$ y est croissante, donc pour tout $x \in [0; 1]$ :

$0 \leq x \leq 1 ⟹ f (0) \leq f (x) \leq f (1) .$

$f (0) = \frac{0 - 2}{0 - 3} = \frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3} et f (1) = \frac{1 - 2}{2 - 3} = \frac{- 1}{- 1} = 1.$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →