Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 2 — Exercice 2 : Loi binomiale et étude de fonction (lancers-francs)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice.

On arrondira, si nécessaire, les résultats à $1 0^{- 3}$ près.

Dans cet exercice, on s'intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s'effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d'un joueur sont de $49, 2%$ lors d'une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d'un lancer-franc.

Au cours d'un match, ce joueur tente $16$ lancers-francs.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et l'interpréter dans le contexte de cet exercice.

3. Calculer $P (X = 5)$ .

4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Partie B

On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que $0 \leq p \leq 1$ .

On se place dans le cas où le joueur effectue $3$ lancers-francs.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ .

2. Exprimer $P (Y = 2)$ en fonction de $p$ .

3. Donner la loi de probabilité de $Y$ . Présenter la réponse sous forme de tableau.

4. Montrer que $P (Y \geq 2) = - 2 p^{3} + 3 p^{2}$ .

5. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par

$f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} .$

5.a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 1]$ et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l'intervalle $[0; 1]$ .

5.b. En déduire l'existence d'une unique valeur $α$ dans l'intervalle $[0; 1]$ telle que $f (α) = 0, 9$ .

5.c. Donner un encadrement d'amplitude $1 0^{- 2}$ de cette valeur $α$ .

5.d. Interpréter la valeur de $α$ dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1. Chaque lancer-franc constitue une épreuve de Bernoulli : il n'a que deux issues, le succès « le lancer-franc est réussi », de probabilité $p = 0, 492$ , et l'échec « le lancer-franc est manqué », de probabilité $1 - p = 0, 508$ .

Le joueur tente $16$ lancers-francs dans des conditions identiques et indépendants deux à deux : on répète donc $16$ fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli. C'est un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 16$ et $p = 0, 492$ .

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès de ce schéma : elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 16$ et $p = 0, 492$ , ce que l'on note $X \sim B (16; 0, 492)$ . L'ensemble des valeurs prises par $X$ est $[[0, 16]]$ .

2. Si $X \sim B (n; p)$ , alors $E (X) = n p$ . Ici :

$E (X) = 16 \times 0, 492 = 7, 872.$

Interprétation. Sur un très grand nombre de matchs au cours desquels ce joueur tente $16$ lancers-francs, il en réussira en moyenne $7, 872$ par match, soit un peu moins de $8$ .

3. D'après la formule de la loi binomiale, pour tout entier $k \in [[0, 16]]$ , $P (X = k) = (k 16) 0, 49 2^{k} 0, 50 8^{16 - k}$ . Pour $k = 5$ :

$P (X = 5) = (5 16) \times 0, 49 2^{5} \times 0, 50 8^{11} = 4368 \times 0, 49 2^{5} \times 0, 50 8^{11} .$

À la calculatrice, $P (X = 5) = 0, 073216 \dots$ , soit

$P (X = 5) \approx 0, 073.$

4. L'événement « le joueur réussit au moins six lancers-francs » est $(X \geq 6)$ . Son événement contraire est $(X < 6)$ , c'est-à-dire $(X \leq 5)$ puisque $X$ ne prend que des valeurs entières. Donc :

$P (X \geq 6) = 1 - P (X \leq 5) .$

À la calculatrice, $P (X \leq 5) = 0, 117261 \dots$ , d'où

$P (X \geq 6) = 1 - 0, 117261 \dots = 0, 882738 \dots \approx 0, 883.$

Le joueur a donc environ $88, 3%$ de chances de réussir au moins six lancers-francs sur les seize tentés.

Ce que le correcteur attend : le passage à l'événement contraire avec la bonne borne. Écrire $P (X \geq 6) = 1 - P (X \leq 6)$ est l'erreur classique ; elle retranche à tort le terme $P (X = 6) = (6 16) 0, 49 2^{6} 0, 50 8^{10} \approx 0, 130$ et conduirait à $0, 753$ au lieu de $0, 883$ .

Partie B

1. Le joueur effectue $3$ lancers-francs et $Y$ compte le nombre de réussites : $Y$ peut valoir $0$ , $1$ , $2$ ou $3$ . L'ensemble des valeurs prises par $Y$ est donc ${0; 1; 2; 3}$ .

2. Pour les mêmes raisons qu'en partie A, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$ , soit $Y \sim B (3; p)$ . L'événement $(Y = 2)$ correspond aux chemins de l'arbre comportant exactement deux succès et un échec : il y en a $(2 3) = 3$ (le lancer manqué est le premier, le deuxième ou le troisième), et chacun a pour probabilité $p^{2} (1 - p)$ par indépendance. Donc :

$P (Y = 2) = (2 3) p^{2} (1 - p) = 3 p^{2} (1 - p) = 3 p^{2} - 3 p^{3} .$

3. De la même façon, $P (Y = k) = (k 3) p^{k} (1 - p)^{3 - k}$ pour $k \in {0; 1; 2; 3}$ , avec $(0 3) = 1$ , $(1 3) = 3$ , $(2 3) = 3$ et $(3 3) = 1$ . D'où la loi de probabilité de $Y$ :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (Y = k)$	$(1 - p)^{3}$	$3 p (1 - p)^{2}$	$3 p^{2} (1 - p)$	$p^{3}$

Vérification : la somme des quatre probabilités vaut $((1 - p) + p)^{3} = 1$ d'après la formule du binôme, comme il se doit.

4. Les événements $(Y = 2)$ et $(Y = 3)$ sont incompatibles et leur réunion est $(Y \geq 2)$ :

$P (Y \geq 2) = P (Y = 2) + P (Y = 3) = 3 p^{2} (1 - p) + p^{3} = 3 p^{2} - 3 p^{3} + p^{3} = - 2 p^{3} + 3 p^{2} .$

5.a. La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0; 1]$ , et pour tout $x$ de cet intervalle :

$f^{'} (x) = - 2 \times 3 x^{2} + 3 \times 2 x = - 6 x^{2} + 6 x = 6 x (1 - x) .$

Sur $[0; 1]$ , on a $x \geq 0$ et $1 - x \geq 0$ , donc $f^{'} (x) \geq 0$ ; de plus $f^{'} (x) = 0$ uniquement en $x = 0$ et $x = 1$ , c'est-à-dire aux bornes. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0; 1]$ . Les valeurs aux bornes sont :

$f (0) = 0 et f (1) = - 2 \times 1 + 3 \times 1 = 1.$

$x$	$0$		$1$
$f^{'} (x)$	$0$	$+$	$0$
$f (x)$	$0$	$↗$	$1$

5.b. La fonction $f$ est continue sur $[0; 1]$ (car dérivable, et parce que c'est une fonction polynôme) et strictement croissante sur $[0; 1]$ d'après la question précédente, avec $f (0) = 0$ et $f (1) = 1$ . Or $0 < 0, 9 < 1$ , c'est-à-dire que $0, 9$ est compris entre $f (0)$ et $f (1)$ .

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f (x) = 0, 9$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[0; 1]$ .

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses doivent être citées explicitement — continuité, stricte monotonie, valeur cible comprise entre les images des bornes. Le théorème des valeurs intermédiaires seul donnerait l'existence, mais pas l'unicité : c'est la stricte croissance qui l'apporte.

5.c. Un encadrement d'amplitude $1 0^{- 2}$ s'obtient par deux centièmes consécutifs ; on calcule à la calculatrice les images de $0, 80$ et de $0, 81$ :

$f (0, 8) = - 2 \times 0, 8^{3} + 3 \times 0, 8^{2} = - 2 \times 0, 512 + 3 \times 0, 64 = - 1, 024 + 1, 92 = 0, 896 < 0, 9,$

$f (0, 81) = - 2 \times 0, 8 1^{3} + 3 \times 0, 8 1^{2} = - 1, 062882 + 1, 9683 = 0, 905418 > 0, 9.$

Ainsi $f (0, 80) < 0, 9 < f (0, 81)$ . Comme $f$ est strictement croissante sur $[0; 1]$ , on en déduit :

$0, 80 < α < 0, 81,$

encadrement d'amplitude $0, 81 - 0, 80 = 1 0^{- 2}$ , comme demandé. (À la calculatrice, $α = 0, 80419 \dots \approx 0, 8042$ .)

5.d. D'après la question 4, pour une probabilité de réussite $p$ d'un lancer-franc, la probabilité que le joueur réussisse au moins deux lancers-francs sur trois vaut $- 2 p^{3} + 3 p^{2} = f (p)$ . Le réel $α$ est donc la valeur de $p$ pour laquelle cette probabilité vaut exactement $0, 9$ .

Autrement dit : pour que le joueur ait $90%$ de chances de réussir au moins deux lancers-francs sur trois, il faut que sa probabilité de réussite à un lancer-franc soit égale à $α$ , c'est-à-dire comprise entre $80%$ et $81%$ . Et comme $f$ est croissante, une probabilité de réussite $p \geq α$ garantit $P (Y \geq 2) \geq 0, 9$ . Le joueur de la partie A, dont la fréquence de réussite est de $49, 2%$ , en est très loin.

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